Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу Введенное выше ограничение [г] < 1 можно отбросить. В самом деле, формула (108) представляет равенство между полиномами, так как интегралы от нечетных степеней cos<f равны нулю. Следовательно, (108) справедлива для всех комплексных z. Если h таково, что й (г + Y- 1 cos <f) 1 > 1. то обе части исходного тождества можно разложить по возрастаюшим степеням ~. Приравнивая в обеих частях тождества коэффициенты при i, получим PAz)±f----(109) 5 (2 ± ]Аг2 - I cos <р) Знак перед интегралом совпадает со знаком R{z). 7.6.7. Рекуррентные формулы. Продифференцируем по h обе части равенства 1 со (\-2hz+h=h P{z). (110) Тогда 3 со (1 - 2hz+h) {z~h)= пЬ- (Z) (111) {\~2hz + h) (z - h)=il - 2hz-{-h?) 2 -h Р (г). Используем в левой части этого равенства формулу (ПО). Имеем со со (г - Л) Е {z) = {\- 2hzН- й2) 2 iz). /2=0 /2 = 0 Приравнивая коэффициенты при Л , получаем рекуррентное соотношение, связывающее три последовательных полинома Лежандра: n+\)P ,{z)~{2n\)zP,{z)+nP ,iz)=0. (112) Продифференцируем уравнение (ПО) по z. Тогда i со Й(1-2Л2+Л2) =S/ P (2). Если учесть равенство (111), то со со 2; ил р {Z) ==.iz~h)yh -p (Z),. п = 0 /2=0 и, приравнивая коэффициенты при h , получаем рекуррентное соотношение Ж - i -! = - * Продифференцируем формулу (112): ( + 1)4 +1 () - (2/г + 1) Р (2) - (2/г + 1) Р (2) -f / -ДАО. (114) dz n+iyf - az с 7.6.8. Формула Родрига. Функция y=:(2 ])n удовлетворяет дифференциальному уравнению (z-l)y -+-2zil-n)y - 2ny = 0. (116) Продифференцируем это уравнение п раз по z: + 2(l- )2-iJ-y-2(n-l)n-y~2ny = 0. Положим d y dz - Тогда предыдущее соотношение принимает вид (22 ]) то, 4 2.г-ж- и ( + 1) та = О, а это - дифференциальное уравнение Лежандра. Но w{z) - полином -й степени. Значит, он, с точностью до постоянного множителя, равен полиному Лежандра Pnz): Р {Z) = kw(z)=k- iz - 1) . в результате ге-кратного дифференцирования получится 2 п! z , а также слагаемые, содержащие множитель z-1. Поэтому Р (1)=&2 /г!= 1. Отсюда получаем формулу Родрига PAz) = -~iz-l) . (117) 7.6.9. Ортогональность полиномов Лежандра. Вычислим интеграл / = j Р (z) z dz (те - целое число < п). -1 Согласно формуле (117), имеем Интегрируя по частям; 2 п\]= f zJiz-lfdz. dz .- ~Aiz-iyT]-m f z--£iz-l) dz. -1 Исключая Pn-i(z) из (ИЗ) и (114), получаем рекуррентную формулу -(-1Г=(2 )! f (z-l) dz2 Отсюда 2 4 . 2n 1-3 ... (2и+1) f[P(z)fdz=} (119) Функции, удовлетворяющие условиям Дирихле (п. 2.1.2), можно разложить в ряд по полиномам Лежандра: /()=flo+ i(2)+ - +a,Piz)+ ... Коэффициенты а, очевидно, равны а; = f f{z)P,iz)dz. (120) -1 ...... Внеинтегральный член равен нулю, так как производная (п-1)-го порядка (z-1) содержит множитель -1. Продолжая интегрирование по частям, получим выражение +1 Следовательно, /=0. Отсюда вытекает, что интеграл J (z)P,(z)dz -1 равен нулю, если f(z) - полином степени, меньшей п. Если, в частности, <р(г) - полином Лежандра, то +1 J P,n(z)P (z)dzO (тфп). (118) что и доказывает ортогональность полиномов Лежандра. Вычислим У= / [P (z)fdz. -1 Формула (117) позволяет написать ~ 22 (и!)2 J dz dz Интегрируем п раз по частям. Заметив, что все внеинтегральные члены равны нулю, получим
|