Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 [ 142 ] 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

Ряд (125) достаточно быстро сходится только при. z > 0. При z<0 им неудобно пользоваться для вычисления Р{г), особенно при z, близких к - 1. Гобсон нашел разложение Р(г), быстро сходящееся при - 1 < г < 0. для значений индекса v, не слишком больших по сравнению с единицей:

sin ity

-2т + ф(у) + ф(-У-1) P(-z)+

I V (-1ГГ(у + г + 1) г)(1+]\ + 2i r(v-r+l)(r!)2 f- - 0[ 2 j [

(1+2Y

<p(v, r) = Г 1

Г I

+ 2

1 1

v + /-J

-v + r+lj

(128)

(129)

Здесь (v) - логарифмическая производная функции r(l--v), a -f - постоянная Эйлера (см. п. 7.4.1 и последующие).

Если индекс близок к нулю или единице, иначе говоря, равен е или 1-+е (е мало), то можно написать

P,(z)=l+-s]n

Ps + liz)=Z+s

Z- 1 +-2 In

2 J

(130) (131)

с погрешностью, меньшей при -l<z<+-l. Функции, соответствующие индексу v = re--e, можно получить из двух предыдущих, если несколько раз применить рекуррентную формулу (134).

7.6.15. Описание поверхности у; cos 6). Поверхность у = Я, (cos 6) (рис. 7.43) проходит через прямую у-1, 6==0. Плоскость, касающаяся поверхности по этой прямой, параллельна плоскости координат 6v. Кривые - сечения поверхности y = P(cos6) плоскостями v -const--удаляются от касательной плоскости тем скорее, чем больше v. Обозначим через п ближайшее целое число, меньшее v. Если 6 стремится к ir, эти кривые стремятся после п колебаний к (-1) схэ, за исключением случая, когда v равно целому числу п, -тогда они стремятся к (-l) . Скорость бесконечного возрастания кривой тем больше, чем ближе v к целому числу, и, при прочих равных условиях, чем v больше.

В заключение отметим, что рассматриваемую поверхность можно представить в виде полуполосы шириной т:, бесконечной в направлении возрастающих V. Эта поверхность по мере удаления от оси 6 разделяется на ленты шириной в единицу. Каждая из лент образует тем большее число складок, чем больше v; ленты попеременно стремятся к +-со и -со вдоль

плоскости 6 = 1с.

7.6.16. Корни функций Лежандра первого рода. При решении в сферических координатах задач теории потенциала обычно применяются функции Лежандра Я, (cos 6). В этих задачах часто приходится вводить следующее граничное условие: потенциальная функция обращается в нуль на поверхности конуса с вершиной в начале координат, образующая которого составляет с осью (прямой 6 = тг) угол Qq. Произведения Лапласа, образующие потенциальную функцию,- содержат P(cose), где v принимает такие значения, что Р (cos Bq) = 0.



На рис. 7.44 по оси абсцисс отложены значения 5Го = со5бо, а по оси ординат - значения индексов v. Кривые на этом рисунке устанавливают связь между Zq и значениями v == (v < Vj < < ...), для которых P,(Zq) = 0,

760 ш 1Z0 100 во 60 40 zo о


Ов 760

>

Рис. 7.44.

-1-1

т. е. рисунок позволяет при любом фиксированном z определить v = - последовательные корни Я(2:о) = 0. Рисунок недостаточно точен для гГр, близких к -1, т. е. для очень острых конусов. Это важный для приложений случай, так как часто возможно отождествлять с такими конусами тонкие провода. Здесь можно использовать приближенную формулу, которую



(у -... (v-f п) / г -1 \ 2п2(2ч1+1)

(п\Г [ 2 ) (y n + l)(v + n)

(.- I)(2v4- ~ +tg-iS:/ ~ (ql) =(.-l)(2v+l)P.(.).

Отсюда получаем рекуррентную формулу

(v-Ь l)P,+i()~(2v+ l)zPjz)+-yP i(z) = 0, (134)

обобщающую формулу (112). которая была выведена для полиномов Лежандра.

Составим выражение P +i(z) - P, i(2)- Оно равно

Ё -°+V (Г°р+ )

Отсюда получаем следующую рекуррентную формулу:

+i(>-i-i() = (2v4-l)P,(2). (135)

Продифференцировав по z тождество (134), определим выражение Я, 1(2)- Подставив его в (135), имеем

Я,..! (Z) - Z Р, (Z) = (V + 1) Я, (Z) (136)

- рекуррентное соотношение, обобщающее (115).

Вычтем равенство (136) из (135). Получаем формулу, обобщающую (113):

P.()-Pv-i() = vPv(2)- (137)

Умножив уравнение (137) на z и вычтя из него уравнение (136), в котором предварительно v заменено на v-1, получаем формулу

PAz) = yzPiz)-P az\ которая, конечно, справедлива и для полиномов Лежандра.

мы получим из (128). В самом деле, при Zq-- 1, близких к нулю, в (128) можно пренебречь суммой и, пользуясь известными свойствами функции ф (п. 7.4.4), для V № Zq, удовлетворяющих уравнению P(Za) - 0, находим

ln-±l + 2-v-f-24)(v)-- ctgTrv = 0. (132)

Это уравнение нетрудно решить графически.

Для очень малых Zp+l (меньше 1/100) можно вывести приближенную формулу, определяющую разность между значением индекса v и его порядковым номером п:

= TT-.2(l+T+- +!) (133)

7.6.17. Рекуррентные формулы. Выражение

(+ l)Pv+i(2)-(2v+ l)P,(2)H-vP, i(z), согласно ряду (125), равно



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 [ 142 ] 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251