Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу Ряд (125) достаточно быстро сходится только при. z > 0. При z<0 им неудобно пользоваться для вычисления Р{г), особенно при z, близких к - 1. Гобсон нашел разложение Р(г), быстро сходящееся при - 1 < г < 0. для значений индекса v, не слишком больших по сравнению с единицей: sin ity -2т + ф(у) + ф(-У-1) P(-z)+ I V (-1ГГ(у + г + 1) г)(1+]\ + 2i r(v-r+l)(r!)2 f- - 0[ 2 j [ (1+2Y <p(v, r) = Г 1 Г I + 2 1 1 v + /-J -v + r+lj (128) (129) Здесь (v) - логарифмическая производная функции r(l--v), a -f - постоянная Эйлера (см. п. 7.4.1 и последующие). Если индекс близок к нулю или единице, иначе говоря, равен е или 1-+е (е мало), то можно написать P,(z)=l+-s]n Ps + liz)=Z+s Z- 1 +-2 In 2 J (130) (131) с погрешностью, меньшей при -l<z<+-l. Функции, соответствующие индексу v = re--e, можно получить из двух предыдущих, если несколько раз применить рекуррентную формулу (134). 7.6.15. Описание поверхности у; cos 6). Поверхность у = Я, (cos 6) (рис. 7.43) проходит через прямую у-1, 6==0. Плоскость, касающаяся поверхности по этой прямой, параллельна плоскости координат 6v. Кривые - сечения поверхности y = P(cos6) плоскостями v -const--удаляются от касательной плоскости тем скорее, чем больше v. Обозначим через п ближайшее целое число, меньшее v. Если 6 стремится к ir, эти кривые стремятся после п колебаний к (-1) схэ, за исключением случая, когда v равно целому числу п, -тогда они стремятся к (-l) . Скорость бесконечного возрастания кривой тем больше, чем ближе v к целому числу, и, при прочих равных условиях, чем v больше. В заключение отметим, что рассматриваемую поверхность можно представить в виде полуполосы шириной т:, бесконечной в направлении возрастающих V. Эта поверхность по мере удаления от оси 6 разделяется на ленты шириной в единицу. Каждая из лент образует тем большее число складок, чем больше v; ленты попеременно стремятся к +-со и -со вдоль плоскости 6 = 1с. 7.6.16. Корни функций Лежандра первого рода. При решении в сферических координатах задач теории потенциала обычно применяются функции Лежандра Я, (cos 6). В этих задачах часто приходится вводить следующее граничное условие: потенциальная функция обращается в нуль на поверхности конуса с вершиной в начале координат, образующая которого составляет с осью (прямой 6 = тг) угол Qq. Произведения Лапласа, образующие потенциальную функцию,- содержат P(cose), где v принимает такие значения, что Р (cos Bq) = 0. На рис. 7.44 по оси абсцисс отложены значения 5Го = со5бо, а по оси ординат - значения индексов v. Кривые на этом рисунке устанавливают связь между Zq и значениями v == (v < Vj < < ...), для которых P,(Zq) = 0, 760 ш 1Z0 100 во 60 40 zo о Ов 760
Рис. 7.44. -1-1 т. е. рисунок позволяет при любом фиксированном z определить v = - последовательные корни Я(2:о) = 0. Рисунок недостаточно точен для гГр, близких к -1, т. е. для очень острых конусов. Это важный для приложений случай, так как часто возможно отождествлять с такими конусами тонкие провода. Здесь можно использовать приближенную формулу, которую (у -... (v-f п) / г -1 \ 2п2(2ч1+1) (п\Г [ 2 ) (y n + l)(v + n) (.- I)(2v4- ~ +tg-iS:/ ~ (ql) =(.-l)(2v+l)P.(.). Отсюда получаем рекуррентную формулу (v-Ь l)P,+i()~(2v+ l)zPjz)+-yP i(z) = 0, (134) обобщающую формулу (112). которая была выведена для полиномов Лежандра. Составим выражение P +i(z) - P, i(2)- Оно равно Ё -°+V (Г°р+ ) Отсюда получаем следующую рекуррентную формулу: +i(>-i-i() = (2v4-l)P,(2). (135) Продифференцировав по z тождество (134), определим выражение Я, 1(2)- Подставив его в (135), имеем Я,..! (Z) - Z Р, (Z) = (V + 1) Я, (Z) (136) - рекуррентное соотношение, обобщающее (115). Вычтем равенство (136) из (135). Получаем формулу, обобщающую (113): P.()-Pv-i() = vPv(2)- (137) Умножив уравнение (137) на z и вычтя из него уравнение (136), в котором предварительно v заменено на v-1, получаем формулу PAz) = yzPiz)-P az\ которая, конечно, справедлива и для полиномов Лежандра. мы получим из (128). В самом деле, при Zq-- 1, близких к нулю, в (128) можно пренебречь суммой и, пользуясь известными свойствами функции ф (п. 7.4.4), для V № Zq, удовлетворяющих уравнению P(Za) - 0, находим ln-±l + 2-v-f-24)(v)-- ctgTrv = 0. (132) Это уравнение нетрудно решить графически. Для очень малых Zp+l (меньше 1/100) можно вывести приближенную формулу, определяющую разность между значением индекса v и его порядковым номером п: = TT-.2(l+T+- +!) (133) 7.6.17. Рекуррентные формулы. Выражение (+ l)Pv+i(2)-(2v+ l)P,(2)H-vP, i(z), согласно ряду (125), равно
|