в дифференциальное уравнение (97). Функция y(z) должна удовлетворять уравнению

Оно совпадает с дифференциальным уравнением Лежандра, продифференцированным т раз, в котором производная т-го порядка взята за новую функцию. Отсюда

yiz)=-P (z) или y(.z)=-Q (z).

Первая из этих функций -/га-я производная полинома Лежандра Piz) - это полином (п - m)-Pi степени, известный под названием функции Гельм-гольца. Конечно, если т > п, то функция Гельмгольца равна нулю. Таким образом, получены частные решения i) дифференциального уравнения (97):

-------- 2ч1

Используя (105), находим

p (z-)~ Cl ~2ч1 fn-m (n - m)(n - m-\) 2

jr (ej-(1. Z) 2 n\(n - m)l\ 2(2n-l)

(n - m) (n - m - 1) (n - m - 2) (n - m - 3)

>~ 2-4.(2n -l)(2n -3)

Отсюда получаем таблицу присоединенных функций: 1

(148) (149)

.. (150)

) Для сохранения непрерывности, при определении этих функций для комплексных и нецелых значений индексов, Гобсон ввел в формулы (148) и (149) множитель (-I.) .

д{=г(1-г2)2

1 , 1+2 , 2 3 , 1 + 2 , 322-2

\ in -

Q = (l ~zS

2 1-2 1-22

1522-3, 1 + 2 , 1 1523-132 4 r 1-22

Единственные конечные решения (97) в интервале -1 <; г: <; +-1 дают функции Pjr(2)-

Определим функции и (см. вычисления из п. 6.3.11) для комплексных г: и для вещественных z, расположенных вне промежутка [-1, +1], с помощью равенств:

Р (г) = (г2-1)А рд). Q () = (e2-l)2-p,Q ()

(151)

(152)

(ср. с (142)). Если т - нечетное число, то, чтобы сделать функцию Р однозначной, следует в плоскости z точки -1 и -+1 соединить разрезом. Что касается функции Q , то этот разрез уже был сделан в силу ее определения. При больших IZI имеем

рг(.)~-й:.

(22) +l

Полезно заметить, что выражения

вещественны.

Свойства функций Рп {z) аналогичны свойствам полиномов Лежандра. Равенство

= 2-( ([ЙГ 5 К- 1+ 1

соответствует формуле Родрига, к которой оно и сводится при т = 0. Продифференцировав т раз соотношение (106), мы убедимся, что коэффициент

при /г в разложении (1-2hz-\-h равен

(i-.2)-fp; (,).

Отсюда получается производящая функция для Рп (z). Используя функцию .

{t -1)

(-2)

п+т+1

Используя формулы (149), (143) и (144), получаем

можно определить Р {z) через интеграл Коши, обобшающий интеграл Шлефли (123). Точно так же можно определить Pn(.z) через определенный интеграл, обобщающий интеграл Лапласа, из п. 7.6.6:

РЦ iz) = (± 1) iii / [z ± Yl cos ср] cos ягср dep.

Рекуррентные формулы для присоединенных функций Лежандра выводятся в п. 7.6.23, а вопрос об ортогональности этих функций рассматривается в п. 7.6.24.

7.6.23. Рекуррентные соотношения. Функции Рп (z) и полином -jPz)

представляют собой соответственно частные решения дифференциального уравнения (97) и уравнения

(l-2)g-2(/k+l)eg + [k(k+l)-/k(/k+l)]/ = 0. (153)

Если умножить уравнение (153) на (1-z), то, в силу (148), можно написать равенство

Pir - (z) -2(т+ 1) -7= РГ {z) + in-m){n + m+\)P = Q. (154) У \ - z

представляющее собой рекуррентное соотношение между функциями

rym-i-2 j-m-i-1 туп

П Гп , ffi .

Рассмотрим рекуррентную формулу (135), написанную для - п. Это соотношение, продифференцированное т - 1 раз, дает

P7lxiz)-FflAz){2n+\)Pr\z). (155)

Продифференцировав т раз формулу (112), получаем

(к+ 1) рГЛ (г) - (2к + 1) zPTiz) ~ (2 + 1) /raPfiz) + kP 1i iz) = 0. Исключив PSJ из двух последних соотношений, находим

(2к + 1) zP\f iz) = in~\~ т) Pf2, (г) + (к - от 4-1) P7i iz). (156)

Соотношение (156), умноженное на (1-г), дает рекуррентную формулу между

вида

(2,г + 1) zPZ iz) = in + т) P i (г) + (,г - от 4-1) Pn+i iz). (157) Если в соотношении (155) заменить т на т-\-1 и результат замены

т + 1

умножить на (1 - z) , то получим

(2й 4-1) V 1 2 p Y (158)

- рекуррентное соотношение между Р, Pn+i, Рп-\-