Заменив в (154) т т т-1 и исключив zP{z) с помощью соотноще-ния (157). получим

-р== \{п -Н г) Я, (2)-Н (к - иг + I) PVi (z)\ X

>Cin - m-\r\){n~irm)Pn-\z) (159)

*- рекуррентное соотношение между Рц Яь Р\ РГ.

Заменив в (159) Pniz) его выражением, полученным из (158), где ffi-t- 1 заменено на т, найдем

i2n-ti)YlK{z)(n + m){n~{-m+l)P;:i(z)~

- {,n - m)in - m-\)P \i(z) (160)

- рекуррентное соотношение между Я \ Я ь Рп+и

7.6.24. Ортогональность присоединенных функций Лежандра. Пол-кажем, что функции Рп (z) ортогональны в промежутке [-1, -+-1], если п -а т - целые положительные числа. Помножим на Р {z) дифференциальное уравнение (97), где / заменено на Pf (z). Точно так же помножим на Pf{z) дифференциальное уравнение (97), где / заменена на Pniz). Разность полученных выражений дает

j (1 - 2) -(;, р () р ( ) j J +

+ {n~s){n+-s+\)P{z)P7{z) = Q.

Следовательно,

j р;Г {z) Р7 {z) = 0. если пф8. -1

(161)

На основании (148)

Р(г) = (1 -г2)2РГЧ)4-( г-1)2:(1-2) 2рГ().

т-1 ,

отсюда, интегрируя по частям, находим

+ 1 4-1

J ip:{z)fdz=- f pr\z)-[a-z)pr\z)l -1 -1

-( г-1) f\Pr\z)fdz+ f tZZ\pr\z)fdz. -i -1

Если учесть дифференциальное уравнение (97), которому удовлетворяет функция Рп iz), то получим последовательно

+1 +1

f{P;.iz)fdz=(n-m-+ l)in-+m) f{Pr(z)fdz,

-1 -1

(~) - лГ 2и+1 (п-т)\ рт , .

Отметим, что при разложении в ряд по полиномам Лежандра часто используются нормированные полиномы Лежандра

7.6.25. Некоторые значения присоединенных функций Лежандра. Приложение присоединенных функций. Если а и т - целые положительные числа {п > т), то можно написать

РГ( г) = (-1) + Р (;г).

Рп iz) - --- Р (г), у () - Г ( + + 1) (

p-J::i,{z) = P n{z), QI -i(e) = Q4).

а также соответствующие формулы для

Рп И т.

При z= ±\ имеем

Р(±1) = 0, е(±1)сю. Если п - т - нечетное число, то

Рп(що, (0)=(-1) --1- -i>

Если п - т - четное число, то

р-(0)=(-1)- y4::.%t L7

Если т = Пу то можно написать

Р(2)= 1 3 5 ... (2к-1)(1-г2) . Р(0)=1-З-б ... (2 -1).

В качестве примера на приложение функций Лежандра рассмотрим электростатическое поле сплюснутого эллипсоида вращения с потенциалом Vq.

) См. п. 2.1.2.

и, наконец, . . .

Из формул (161) И (162) вытекает, что функции В промежутке [-1, +1] можно разлагать в ряд по присоединенным функциям Лежандра первого рода.

Чтобы получить ортонормальную 1) систему функций, мы должны ввести нормированные присоединенные функции Лежандра первого рода (см. рис. 7.51-7.54):

Этот простой пример может пояснить вамечание, приведенное в конце п. 6.3.11. Действительно, регулярность, которой должен обладать потенциал f/, ограничивает класс функций, входящих в произведения Лапласа. На данном примере мы покажем, что выбор этих функций может быть сделан лишь после достаточно глубокого изучения их свойств.

Координаты X, у, z, оператор Лапласа At/ и множители VF, Ф, S, входящие в произведение Лапласа, как функции сплюснутых эллипсоидальных координат вращения даны в п. 6.3.11.

Совершенно очевидно, что потенциал обладает симметрией вращения, следовательно, [а=0. Потенциал должен быть конечным на оси Ох, т. е.

при ср - ±--. Отсюда v = (целому числу), а В = 0.

Если заменить С, на CeiP, а на yCge , то оба слагаемых функции S будут вещественны. Потенциал равен нулю на бесконечности, т. е. при ? = 4-оо. Так как C,e-i lP (J sh) и jCeiPQiJпри бесконечном возрастании ? стремятся соответственно к бесконечности и к нулю,

то Ci=:0.

Таким образом, потенциал U сводится к выражению и = JCB, S elPPn (sincp)Q (У sh

Уравнение заданного эллипсоида i = io; потенциал на нем постоянен. Он не должен зависеть от ср, поэтому Я (sin ср) сводится к постоянной; значит, возможно только п = 0. Если Vq - заданный потенциал, то в окончательном виде имеем

{J=V S°iillILV arcctg(stig) у arctgg-

° Qo(yshgo) ° arcctg(sli5o) arctg е

7.6.26. Сферические гармоники. Вернемся к концу п. 6.3.8, где мы

решали уравнение At/ -j- = О в системе сферических координат. Допустим, что нужно найти функцию U на сфере заданного радиуса. Мы уже видели, что эта функция зависит от множителя

[Л cos [Аср -f 5 sin (хср] [СР (cos 6) + DC (cos B)l

который называется сферической гармоникой. Здесь обязательно равно целому числу т, так как функция после полного оборота должна остаться неизменной. Кроме того, D = 0 и у=:п- целому, чтобы исключить функции, которые становятся бесконечными на полюсах сферы. Итак, имеем

[Л cos жср + Б sin жср] Рп (cos 6). (163)

Рассмотрим некоторые частные случаи (163):

.1) т = 0. Функция и становится равной нулю одновременно cP (cose), иначе говоря, на п параллелях сферы, симметрично расположенных по обеим сторонам экватора. Р (cos 6) называется зональной гармоникой.

2) О < /га < ге. Функция U становится равной нулю на меридианах, соот-

ветствующих корням tgm<p ---и на h - т параллелях, симметричных

относительно экватора. В этом случае выражение (163) называется тессе-ральной гармоникой. .