Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу
Отметим, что при разложении в ряд по полиномам Лежандра часто используются нормированные полиномы Лежандра
7.6.25. Некоторые значения присоединенных функций Лежандра. Приложение присоединенных функций. Если а и т - целые положительные числа {п > т), то можно написать
РГ(--г) = (-1) + Р (2).
д (-2) = (-1) - +дГ(Ю;
pi; :i(2)=:p;r(2), qi -i(2)=q(2).
а также соответствующие формулы для
Рп и Qf.
При z= ±1 имеем
Р(±1),= 0. е(±1) = сю. Если /г - т-нечетное число, то
В качестве примера на приложение функций Лежандра рассмотрим электростатическое поле сплюснутого эллипсоида вращения с потенциалом Vq.
) См. а 2.1.2.
и, наконец, . . - .
, у[р р.,= ±. (,62)
Из формул (161) и (162) вытекает, что функции в промежутке [-1, +1] можно разлагать в ряд по присоединенным функциям Лежандра первого рода.
Чтобы получить ортонормальную 1) систему функций, мы должны ввести нормированные присоединенные функции Лежандра первого рода (см. рис. 7.51-7.54):
Р, (X)
РЛх)
Р,(х)
Рь{х)
Ру(Х)
0,00
0,000 0
-0,500 0
0,000 0
0,375 0
0,000 0
-0,312 5
0,000 0
0,01
0,010 0
-0,499 8
-0,015 0
0,3746
0,018 7
-0,3118
-0,021 9
0,02
0,0200
-0,499 4
-0,030 0
0,3735
0,037 4
-0,309 9
-0,043 6
0,03
0,030 0
-0,498 6
-0,044 9
0,371 6
0,056 0
-0,306 6
-0,065 1
0,04
0,040 0
-0,4976
-0,059 8
0,369 0
0,074 4
-0,302 1
-0,086 2
0,05
0,050 0
-0,496 2
-0,074 7
0,365 7
0,092 7
-0,296 2
-0,106 9
0,06
0,060 0
-0,494 6
-0,089 5
0,361 6
0,1106
-0,289 1
-0,127 0
0,07
0,070 0
-0,492 6
-0,104 1
0,356 7
0,128 3
-0,280 8
-9,146 4
0,08
0,080 0
-0.490 4
-0,118 7
0,351 2
0,145 5
-0.271 3
-0,165 1
0,09
0,090 0
-0.487 8
-0,133 2
0,344 9
0,162 4
-0,2606
-0,182 8
0,10
0,100 0
-0,485 0
-0,1472
0,337 9
0,178 8
-0,248 8
-0,1995
0,11
0,110 0
-0,481 8
-0,161 7
0,330 3
0,1947
-0,236 0
-0,215 1
0,12
0,120 0
-0,478 4
-0,175 7
0,321 9
0,210 1
-0,222 0
-0,229 5
0,13
0,130 0
-0,474 6
,189 5
0,312 9
0,224 8
-0.207 1
-0,242 7
0,14
0,140 0
-0,470 6
-0,203 1
0,303 2
0,238 9
-0,191 3
-0,254 5
0,15
0,150 0
-0,466 2
-0,216 0
0,292 8
0,252 3
-0,174 6
-0,264 9
0,16
0,160 0
-0,461 6
-0,229 8
0,281 9
0,265 0
-0,1572
-0,273 8
0,17
0,170 0
-0,456 6
-0,242 7
0,270 3
0,276 9
-0,138 9
-0,281 2
0,18
0,180 0
-0,451 4
-0,255 4
0,258 1
0,288 0
-0,120 1
-0,2870
0,19
0,190 0
-0,445 8
-0,267 9
0,245 3
0,298 2
-0,100 6
-0,291 1
0,20
0,200 0
-0,440 0
-0,280 0
0,232 0
0,307 5
-0,080 1
-0,293 5
0,21
0,210 0
-0,433 8
-0,291 8
0,218 1
0.315 9
-0,060 1
-0,294 3
0,22
0,220 0
-0,427 4
-0,303 4
0,2037
0,3234
-0,039 4
-0,293 3
0,23
0,230 0
-0,420 6
-0,314 6
0,188 9
0,3299
-0,018 3
-0,290 6
0,24
0,240 0
-0,413 6
-0,325 4
0,1735
0,-335 3
+0,002 9
-0,286 1
0,25
0,250 0
-0,406 2
-0,335 9
0,157 7
0,339 7
0,024 3
-0,279 9
0,26
0,260 0
-0,398 6
-0,3461
0,141 5
0,3431
0,0456
-0,272 0
0,27
0,270 0
-0,390 6
-0,355 8
0,124 9
0,345 3
0,066 9
-0,262 5
0,28
0,280 0
-0,382 4
-0,-365 1
0,107 9
0,346 5
0,087 9
-0,251 2
0,29
0,290 0
-0,373 8
-0,374 0
0,090 6
0,346 5
0,108 7
-0,238 4
0,30
0,3000
-0,365 0
-0,382 5
0,072 9
0,345 4
0,129 2
-0,224 1
0,31
0,310 0
-0,355 8
-0,390 5
0,055 0
0,343 1
0,149 2
-0,208 2
0,32
0,320 0
-0,346 4
-0,398 1
0,036 9
0,339 7
0,168 6
-0,191 0
0,33
0,330 0
-0,336 6
-0,405 2
0,018 5
0,335 1
0,1873
-0,172 4
0,34
0,340 0
-0,326 6
-0,4117
0,000 0
0,329 4
0,205 3
-0,152 7
0.35
0,350 0
-0,316 2
-0,417 8
-0,018 7
0,322 5
0,222 5
-0,131 8
0,36
0,3600
-0,305 6
-0,423 4
-0,037 5
0,314 4
0,238 8
-0,109 8
0,37
0,3700
-0,294 6
-0,428 4
-0,0584
0,3051
0,254 0
-0,087 0
0,38
0,380 0
-0,283 4
-0,432 8
-0,075 3
0,294 8
0,268 1
-0,063 5
0,39
0,390 0
-0,271 8
-0,436 7
-0,094 2
0,2833
0,281 0
-0,039 3
0,40
0,4000
-0,260 0
-0,440 0
-0,113 0
0,270 6
0,292 6
-0,014 6
0,41
0,410 0
-0,247 8
-0,442 7
-0,131 7
0,256 9
0,302 9
+0,010 4
0,42
0,4200
-0,235 4
-0,444 8
-0,150 4
0,242 1
0,3118
0,035 6
0,43
0,430 0
-0,222 6
-0,446 2
-0,168 8
0,226 3
0,319 1
0,060 8
0,44
0,440 0
-0,209 3
-0,447 0
-0,187 0
0,209 5
0,324 9
0,085 9
0,45
0,450 0
-0,196 2
-0,447 2
-0,205 0
0,191 7
0,329 0
0,110 6
0,46
0,460 0
-0,182 6
-0,416 7
-0,222 6
0,1730
0,331 4
0,134 8
0,47
0,470 0
-0,168 6
-0,445 4
-0,239 9
0,1534
0,332 1
0,158 4
0,48
0,4800
-0,1544
-0,4435
-0,256 8
0,1330
0,331 0
0,181 1
0,49
0,4900
-0,139 8
-0,4409
-0,273 2
0,1118
0,328 0
0,202 7
0,50
0,500 0
-0,125 0
-0,4375
-0,289 1
0,089 8
0,323 2
0,223 1
0,51
0,510 0
-0,109 8
-0,433 4
-0,304 4
0,067 3
0,316 6
0,242 2
0,52
0,520 0
-0,094 4
-0,428 5
-0,319 1
0,044 1
0,308 0
0,259 6
0,53
0,530 0
-0,078 6
-0,422 8
-0,333 2
0,0204
0,297 5
0,275 3
0,54
0,5400
-0,062 6
-0,416 3
-0,346 5
-0,003 7
0,285 1
0,289 1
0,55
0,550 0
-0,016 2
-0,409 1
-0,359 0
-0,028 2
0,270 8
0,300 7
7.6.29. Таблица значений первых семи полиномов Лежандра.
Р, (X)
РЛх)
Яз {X)
Рь{х)
Р,{х)
0,56
0,560 0
-0,029 6
-0,401 0
-0,3707
-0,052 9
0,254 6
0,310 2
0,57
0,570 0
-0,012 6
-0,392 0
-0,381 5
-0,077 9
0,236 6
0,317 2
0,58
0,580 0
+0,004 6
-0,382 2
-0,391 4
-0,102 8
0,216 8
0,321 7
0,59
0,590 0
0,022 2
-0,371 6
-0.400 2
-0,127 8
0,195 3
0,3235
0,60
0,600 0
0,040 0
-0,360 0
-0,408 0
-0,152 6
0,172 1
0,322 6
0,61
0,610 0
0,058 2
-0,3475
-0,414 6
-0,177 2
0,147 3
0,318 8
0,62
0,620 0
0,076 6
-0,334 2
-0,420 0
-0,201 4
0,121 1
0,312 1
0,63
0,630 0
0,095 4
-0,319 9
-0,424 2
-0,225 1
0,093 5
0,302 3
0,64
0,640 0
0,114 4
-0,304 6
-0,427 0
-0,248 2
0,0646
0,289 5
0,65
0,650 0
0,133 8
-0,288 4
-0,428 4
-0,270 5
0,034 7
0,2737
0,66
0,660 0
0,1534
-0,271 3
-0,428 4
-0,291 9
0.003 8
0,254 8
0,67
0,670 0
0,173 4
-0,253 1
-0,426 8
-0,312 2
-0,027 8
0,232 9
0,68
0,680 0
0,1936
-0,233 9
-0,423 6
-0,331 3
-0,060 I
0,208 1
0,69
0,690 0
0,214 2
-0,213-7
-0,418 7
-0,349 0
-0,092 6
0,180 5
0,70
0,700 0
0,235 0
-0,192 5
- -0,412 1
-0,365 2
-0,125 3
0,150 2
0,71
0,710 0
0,256 2
-0,170 2
-0,403 6
-0,379 6
-9,157 8
0.117 3
0,72
0,720 0
0,277 6
-0,146 9
-0,393 3
-0,392 2
-0,189 9
0,082 2
0,73
0,730 0
0,2994
-0,122 5
-0,381 0
-0,402 6
-0,221 4
0,045 0
0,74
0,740 0
0,321 4
-0,096 9
-0,366 6
-0,410 7
-0,251 8
0,006 1
0,75
0,750 0
0,343 8
-0,070 3
-0,350 1
-0,416 4
-0,280 8
-0,034 2
0,76
0,760 0
0,366 4
-0,042 6
-0,331 4
-0,419 3
-0,308 1
-0,075 4
0,77
0,770 0
0,389 4
-0,013 7
-0,310 4
-0,419 3
-0,333 3
-0,1171
0,78
0,780 0
0,412 6
+0,016 4
-0,287 1
-0.416 2
-0,355 9
-0,158 8
0,79
0,790 0
0,436 2
0,047 6
-0,261 3
-0,409 7
-0,375 6
-0,199 9
0,80
0,800 0
0,460 0
0,080 0
-0,233 0
-0,399 5
-0,391 8
-0,2397
0,81
0,810 0
0,484 2
0,113 6
-0,202 1
-0,385 5
-0.404 1
-0,277 4
0,82
0,820 0
0,508 6
0,148 4
-0,168 5
-0,367 4
-0,411 9
-0,312 4
0,83
0,830 0
0,533 4
0,184 5
-0,132 1
-0,344 9
-0,414 7
-0,343 7
0,84
0,840 0
0,558 4
0,221 8
-0,092 8
-0,317 7
-0,412 0
-0,370 3
0,85
0,850 0
0,583 8
0,260 3
-0.050 6
-0,285 7
-0,403 0
-0,391 3
0.86
0,860 0
0,609 4
0 3001
-0,005 3
-0,248 4
-0,387 2
-0,405 5
0,87
0,870 0
0,635 4
0,341 3
+0,043 1
-0.205 6
-0,363 8
-0,4116
0,88
0,880 0
0,6616
С,383 7
0,094 7
-0,157 0
-0,332 2
-0,408 3
0,89
0,8900
0,688 2
0,427 4
0,149 6
-0,102 3
-0,291 6
-0,394 2
0,90
0,900 0
0,715 0
0,472 5
0,207 9
-0,041 1
-0.241 2
-0,367 8
0,91
0,910 0
0,742 2
0,518 9
0,269 8
+0,026 8
-0,180 2
-0,327 4
0,92
0,920 0
0,769 6
0,566 7
0,335 2
0,101 7
-0,107 7
-0,271 3
0,93
0,930 0
0,797 4
0,615 9
0,404 4
0,184 2
-0,022 9
-0,197 5
0,94
0,940 0
0,825 4
0,666 5
0,477 3
0,274 4
+0,075 1
-0,104 0
0,95
0,950 0
0,853 8
0,718 4
0,554 1
0,372 7
0,187 5
+0,011 2
0,96
0,960 0
0,882 4
0,771 8
0,634 9
0,479 6
0,315 1
0,150 6
0,97
0,970 0
0,911 4
0,826 7
0,719 8
0,595 4
0,459 0
0,316 5
0,98
0,9800
0,940 6
0,883 0
0,808 9
0,720 4
0,620 4
0,5115
0,99
0,990 0
0,970 2
0,940 7
0,902 2
0,855 2
0,800 3
0,738 4
1,00
1,000 0
1,000 0
1,000 0
1,0000
1,000 0
1,000 0
1,000 0
7.6.30. Графики нормированных присоединенных функций Лежандра первого рода (рис. 7.51-7.54).
7.6.31. Приложение функций Лежандра. Решение задачи об электромагнитных колебаниях сферического резонатора. Предположим, что стенки сферы сделаны из абсолютно проводящего вещества. Введем сферическую систему координат. В этой системе е=\, е - р, egpsinS. Применим к рассматриваемой задаче способ Бромвича (см. п. 6.3.13). Если ограничиться синусоидальными функциями времени, т. е. функциями вида eU (р, 6, ср).
