Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу 0,3 0,4 0.5 0,0 q? Рис. 7.51. qs 0,5 1,0 z=cose 0,1 0,2 0,3 Ц4 0,5 0,8 OJ 0,8 Ц5 7,0 Z=COS0 Рис. 7.52. О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 7,0 г=cos О Рис. 7.53. О 0,7 02 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 г=cos в Рис. 7.54. то и будет решением уравнения f sin ( . dU\ . д ( I дС/\] , ,9 Положим Тогда предыдущее уравнение принимает вид 1 dF 1 й/ i 1 cos 6 dF 1 2 df p dp 4 p2 p2 p2 sin e 66 p2 sin2 e Будем искать частное решение в виде произведения Лапласа F(p, 6. ср) = /?(р)0(е)Ф(ср). Подставим его в уравнение и затем разделим на /?вФ. Имеем 4-2/70. 1 й/? Р dp Отсюда вытекает 0 р2 cose do sine db 1 Й2ф J 1 d4> .2 L - n Ф p2 sin2 e d<p2 T 4p2 ~ Ф d<p2 + (Л2==0 Решение этого уравнения должно иметь период 2v:. Следовательно, ix - nt (целое число) и Далее, 1 / de Ф= тф. cos cosfl d® 0 l dQ sin e de sinl <72==0. Единственное решение этого уравнения, однозначное внутри сферы и конечное на оси Oz, дают присоединенные функции Лежандра первого рода, индексы которых - целые положительные числа. Поэтому нужно считать д2 7=п(п-+1) (п - целое число). Отсюда е = Я (cos 6). Функция R определяется из уравнения dR , I dR dp р dp n(n+l) + единственным решением которого, конечным в центре сферы, будет R = .1nilA- Если центр сферы исключен из области существования функции, то-отбрасывать функцию Y +4 не следует. Искомое частное решение - функция U (р, 6, tp, t) - равно и (р, 6, <р, t) = /р (Р) Рп (cos e)eTs W<pe* -
|