р sin I

j 7 т-РЦ (cos 6) , VKe *.

= pt (Р) (cos e)S s те

= 7 [/- +V. (Р)] W )-°

=== 7- (Р)] (cos e)l°L гт.-.

Если обозначить радиус сферы через R, то граничные условия - равенство нулю тангенциальных составляющих электрического поля - имеют вид

= 6 = 0 при р = Р-Отсюда получаем условия для поперечных магнитных волн:

т. е.

Но так как, согласно (32),

kRjn+4, (kR) = kRJn-ч, (kR) - ( -(- 1/2) (kR),

то граничные условия принимают вид

Jn+h(kR) kR Jn-ikR)

Это уравнение дает для kR последовательность корней

kR = a 0-2, . , 0-1, ...

Круговая частота возможных электрических колебаний внутри сферической полости будет зависеть от к и номера i выбранного корня. Наиболее низкая круговая частота будет соответствовать n = 1 и / = 1. Тогда предыдущее уравнение примет вид

Формулы (88) и (89) п. 6.3.13 позволяют написать следующие выражения:

а) для поперечной магнитной волны (-волна):

£р = ( +> /А Л /. (Р) Рп (COS е)Й гcpe - = 7 i Vk9Jn+4. (Р)] (cos e)et гт* .

= ТЖТ[/Л+у. т]Рп (cos e) L ,га.-- 0=у 1,/ (р) Рп (COS e)-L гт.

=VJ - / (рж (

б) для поперечной электрической волны ( -волна): А = - / ]/ У> (Р) Р: (cos е)1-, гф.

77) ФТВКЦИИ МАТЬЕ 465

Отсюда . ,- -

2,744, 6,117, 3=9,317, 12,48, ...

Следовательно, в пустоте длина поперечной магнитной волны наиболее низкой частоты равна

= = 2,289/?. Для электрических поперечных волн граничные условия дают

Из этого уравнения вытекает ряд допустимых значений kR:

kR = p р р ...

Круговая частота электромагнитных колебаний зависит от n и номера i выбранного корня. Наиболее низкая частота будет при п-1 к 1=1. При этом предыдущее уравнение принимает вид

sinfe/?) cos(A;/g) или tg (kR) = kR;

откуда

3i = 4,4934, 32= 7,7253, 10,904, =14,066. ...

Следовательно, в пустоте длина поперечной электрической волны наиболее низкой частоты равна

7.7. ФУНКЦИИ МАТЬЕ

Будем искать решения дифференциального уравнения dy

(с -2gcos22)y=:0, (164)

ограничиваясь случаем, когда переменная z и параметры а к q вещественны.

7.7.1. Функции Матье первого рода. Соображения, изложенные в конце п. 6.3.9, показывают особое значение периодических решений с периодом 271 уравнения (164). Эти решения называются функциями Матье первого рода или функциями Матье, с целым индексом. Они существуют только при строго определенных значениях параметров а и q, причем возможные значения пар а и д связаны зависимостью весьма сложного вида (см. пп. 7.7.3 и 7.7.4).

Предположим, что функции М.атье первого рода существуют для значений q, стремящихся к нулю. Разумеется, параметр а при этом соответствующим образом изменяется. Пусть q = 0. Тогда уравнение (164) сводится к уравнению

.д-+с(0)у=о,

которое имеет периодические решения с периодом 2тс, если с(0) равно квадрату целого числа т. Эти решения суть

cos/иг, sin mz. . с -

Функциями Матье целого порядка т называются 271:-периодические относительно переменной z решения (164), стремящиеся соответственно к cos mz и sin mz при д, стремящемся к нулю. Ясно, что функции Матье целого порядка зависят от двух переменных z п д и индекса т, определенного выше.

Интегрируем от О до

dz 2 dz У1

2ic

-.271

0 i!

Так как функции у уз гтс-периодичны, то

211 2il

7.7.3. Разложение в ряд Фурье. Функции Матье первого рода - 2я-пе-риодичные решения (164) - естественно искать с помощью разложения их в ряд Фурье:

оо

у = В-\-[А %ia гZ+-вf COS гz\..

Обычно эти функции обозначают с помощью символов се(г, q), se(z, q) или сокращенно се, se .

Формула, связывающая возможные значения параметров а wq при фиксированном т. называется характеристическим уравнением, а соответствующий график - характеристической кривой. Для се характеристическое уравнение можно записать в виде

Pmic q)- причем Fini, 0) = 0; (165)

для se

9)= О, причем Ф ( г2, 0) = 0. (166)

Графики зависимостей (165) и (166) для различных т приведены на рис. 7.55. Они дают сеть характеристических кривых функций Матье целого порядка. Можно показать, что эти кривые не имеют общих точек (разумеется, кроме точек ( г, 0) на оси а, через которые проходят кривые F(a, 9)= О и Фа, q)~0). Отсюда следует, что ни при каких значениях а а q, кроме отмеченного выше тривиального случая, не существует двух линейно независимых функций Матье первого рода. Поэтому для получения общего решения уравнения (164) приходится вводить функции Матье второго рода (см. п. 7.7.9).

7.7.2. Ортогональность функций Матье первого рода. Для каждого q имеется бесконечный набор значений а таких, что им соответствуют функции Матье первого рода. Другими словами, совокупность всех функций Матье целого порядка при фиксированном q дает бесконечное множество функций Матье первого рода с различными а, соответствующими различным т (см. рис. 7.55). Пусть параметрам q, с, и q, 2 соответствуют у, к У2 - решения (164), являющиеся функциями Матье первого рода Имеем

+ ( I - 2? cos 2z) у, = О, + ( 2 - 2q cos 2z) = 0;

отсюда

<Ру1 а у2 , .

~di 2 --rfir У1 == ( 2 - fil) У1У2-