Изменение знака q у Се и Se сводится к замене z на 2 + у

(ср. п. 7. 7. 5). Нетрудно написать разложения в ряд, подобные (168), используя гиперболические функции и соотношения (173).

7.7.7. Функции Матье для произвольных а и д. Уравнение Матье представляет собой частный случай уравнения Хилла. Из вычислений 4.2.21 следует: если y(z) - частное решение уравнения Матье, то существует [i такое, что

yiz-)e-y(z).

Рассмотрим функцию G (z) - еу (z). Имеем

G{z + к)=e-+>y{z-\-п:)=e-y(z)=Giz).

Следовательно, функция 0(г) имеет период тс и допускает разложение в ряд Фурье вида

г= -оо

Частное решение у (г) равно

yiz) = :eG(z).

Другое частное решение, линейно независимое от у (г) (при {=0), будет

y(-z)=e-G(-z). Следовательно, общее решение уравнения Матье имеет вид

+СО +СО

, Ле Е с,/ + Ве-< 2 с е-\ (174)

/=-00 /=-оо

Решение называется устойчивым, если оно остается конечным при бесконечном возрастании г, и неустойчивым в противном случае. Характер устойчивости решения (174) определяется значением параметра

Мы видели в п. 4.2.21, что число либо вещественное, либо чисто мнимое. При вещественном решение неустойчиво. При чисто мнимом л -ур

решение устойчиво. Если, кроме того, р - рациональная дробь, = т-\--

(т-целое число, р и s - взаимно простые, р < s), то решение будет периодично с периодом 2tzs. Эти решения называются функциями Матье с дробным индексом. Если р - 0, мы снова приходим к функциям Матье первого рода. В последнем случае частные ре.шения из (174) линейно зависимы, т. е. (174) не есть общий интеграл. Отсюда возникает необходимость наряду с функциями Матье первого рода рассматривать функции Матье второго рода (это уже отмечалось нами). Если = /р, а р - не рациональная дробь, то решение устойчиво, но не периодично. Можно показать, что случай устойчивости соответствует таким значениям а к q, что изображающая их точка на рис. 7.55 находится в одной из заштрихованных зон. Напомним, что линии на рис. 7.55 (кривые F{a, q) = 0, Ф (а, q) = 0) соответствуют функциям Матье первого рода. Эти кривые представляют собой границы, отделяющие зоны устойчивости от зон неустойчивости.

Рассмотрим более подробно решение с дробным индексом. Изменяя индекс суммирования, можно добиться выполнения условия 0<р<1. Тогда общее решение (174) перепишется в виде

т= -со г- - со

се2 +р(г. 9)= Е лГсо8(2/---р)2:.

/=: -СО +-СО

se2 +p(. Ф= Hi л1?+ш(2/- + р)г.

г= -со Ьсо

се2 +1+р(. 9)= Е л1Гсо5(2/- + р+1)2.

(175)

Г~ -СО

se2 +i+p(- 9)= Е Лlrsш(2- + p+l)2.

г=;-оо

Как ИБП. 7.7.2, легко показать, что функции Матье с дробным индексом, соответствующие одному и тому же значению q (здесь функции se и се могут одновременно существовать при одинаковых а и q), ортогональны. Неопределенный постоянный множитель, содержащийся в формулах (175). будем находить из условий:

2jus 2its

из которых следует .

+00 +00

Е (4Г7= Е {ЛГ*У=\.

г= -со /s.-OO

Присоединенные функции Матье с дробным индексом определяются

выражениями

. Се +р(2. ±9) = се р(72:, ±q), Se +p(2, ±9) = - /se .p(Jz. ±q).

Свойства этих функций выводятся из свойств се.р и se+p (начиная с формул определения).

7.7.8. Разложение в ряды по бесселевым функциям. Предполагая 9 = А2>0, произведем в уравнении (164) замену переменной и = 2ft cos 2. Имеем

( 2 4A2)-g + -g + ( 2-/,2)y = 0.

p=a-+2q. (176)

Мы можем рассматривать y{z) как линейную комбинацию двух частных решений:

У1= Е C2,cos(2/-H-P)2.

г= -оо

ЮО

г- -со . , . ..

при помощи формул, аналогичных формулам (168), можно, с точностью до постоянного множителя, определить функции Матье с дробным индексом:

ЮО

(177)

се2 я]

се2 {Z, q) =-4- У (-1) ЛХ (2 cos z).

0 г=0

Можно выписать подобные разложения в ряд по бесселевым функциям

с2 +1 2л n+v Се2 +[, Се2 , Se2 .i, Se2 .

7.7.9. Функции Матье второго рода. Мы видели, что функции Матье с целым индексом (т. е. функции Матье первого рода) се и se, в отличие от функций Матье с нецелым индексом, не могут одновременно существовать при одних и тех же =ifc О и а.

Чтобы получить общий интеграл дифференциального уравнения (164) в случае, когда известна функция Матье первого рода, следует найти линейно не зависящее от нее решение этого уравнения.

Функцией Матье второго рода (например, для се) называют, в соответствии с общим результатом п. 6.2.11, решение (164) вида

у(г)=:се(г) У

[ce(2)f

Решение, линейно независимое от функции Матье первого рода, можно также определить, исходя из разложения (178). Действительно, бесселева функция второго рода Y (z) удовлетворяет соотношениям (177). Значит, разложение

2(-1/2 К2Д2Й cos ) (179)

Будем искать решение вида у(2)=2(-l/ггЛг( ) Подставим это выра-жение в (176). Принимая во внимание известные соотношения

4 г - / 2f -4- Г

получаем

S (-1УС2Л(4/-2-а)Л,-Ч-/2.-2 + Лг + 2)]=0.

г=0- .

Приравняем нулю коэффициенты при J. Тогда получаем рекуррентное соотношение между коэффициентами Cj, Cg+g 2r-2-

(а - 4/-2) - 4Г (С2, 2 Н-Сг.+г) = О-

Это .рекуррентная формула вида (167). Следовательно, коэффициенты с и Л пропорциональны. Функция, определенная рядом

2 (-1) Л2 У2г (2 COS z). (178)

представляет собой решение (164). Это функция се2 с точностью до постоянного множителя. Если придать z значение --, то все члены ряда (178),

кроме первого, становятся равными нулю. Это позволяет определить постоянный множитель и написать