является линейно независимым от. се2 (2, q) решением (164): Можно принять функцию, определенную рядом (179), за присоединенную функцию Матье второго рода для се2 и действовать подобным же образом в случае аналогичных разложений в ряд по бесселевым функциям других решений уравнения Матье.

7.8. ФУНКЦИИ ВЕБЕРА -ЭРМИТА. ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА

7.8.1. Функций Вебера - Эрмита, или функции параболического цилиндра. Так называются частные решения дифференциального уравнения

Положим

(4-1-4)

у = е 4 к.

(180):

Тогда дифференциальное уравнение (180) приобретает вид

dY dV .

2:-7- + vK = 0.

dz dz Найдем разложение Y в степенной ряд

(181>

Имеем

-Г UP а (-2)...(.-2р + 2)

а -(-UPа (У-1)(У-3) ... (v-2p , - (- 1) 1 (2/7+1)!

Отсюда получаем искомое разложение

1+-(-1)-<-2)--;;-2+2).2.

у = е

(182)

где о и Cj - два неопределенных коэффициента.

По определению, функция Вебера - Эрмита D,(2) получится из формулы (182), если принять

0 = 22

Jl = -22 2

V J

(183)-

(184)

Если D(z) - решение уравнения(180). toD(- z), D , i(jz), D , .i(-Jz)~ также решения. Они, естественно, не все линейно независимы. С помощью*

D: (0) - 2 .г () Sin . (190)

Отсюда

D2,(0):-(-l)M-3 ...(2/7-1), D2,+i(0) = 0. (191)

Z);0) = 0. Z);p+i(0) = (-1)1 .3 ... (2/7-Ы). (192)

. Если z лежит внутри угла

- -<3igz< + -.

формул (182) - (184) можно показать, что между ними существуют следующие соотношения:

. Diz) = { eD ,(Jz) + e-iPp ,(- Jz)].

D(z)=e-J-D(-z)+-e-J<--m ,(Jz). 85)

D(z)==e-D- z)+ e <->Ъ , , (- Jz).

Если v отлично от целого числа, то общий интеграл уравнения (180) будет

y = AD(z)+-BD(-z). (186)

Если v равно четному положительному числу 2/>, то первое разложение в формуле (182) обрывается на члене z , а коэффициент а, второго разложения равен нулю.

Если v равно нечетному положительному числу 2/7-+1, то второе разложение в формуле (182) обрь1вается на члене 2:2/ +, а коэффициент Cq равен нулю.

Следовательно, для v= (целое положительное число) можно написать

Dn(z)=e H,n(z). (187)

H (z) - полином п-й степени, называемый полиномом Эрмита. Он является четной функцией при четном п и нечетной функцией при п нечетном. Поэтому выражение (186) уже не является общим интегралом (180). В качестве общего интеграла при любом v можно принять выражение

y=AD(z) + BD ,(±jz). (188)

Итак, решение уравнений (64) и (65) п. 6.3.10 описывается общими интегралами (186). (188), в которых z = aY Для первого случая и 2г = УР VP ДЛЯ второго. При этом v= - - Y личины А, В, v опре деляются граничными условиями.

Из формул (182) - (184) получаем при z==Q

D,(0, = Yi ... =g.r(i- + lcos. (189)

(193)

то для функции D(z) имеет место следующий асимптотический ряд

Вд.).-.-[1 -1 + ->) И- ...

, , . р (у-1)...(у-2р+1)

Если V равно целому положительному числу п, то этот ряд сводится к

Исходя из формул (182) - (184), можно проверить, что имеют место следующие рекуррентные соотнощения:

D,+i() -2D,(2)+A-,(2) = 0. (194)

2DUz)-\-zDJz) - 2 A)=0. (195)

Точно так же нетрудно показать, что

DAz)\=H--\) ... {у-т+\)е (z)

(V > т).

7.8.2. Полиномы Эрмита. Функция yi = e удовлетворяет дифференциальному уравнению

y{ + zy, = 0.

Продифференцируем это уравнение п -\- 1 раз. Тогда

у{ +2) 2у(п+1) (я+.1)-у(П)=0.

Следовательно, функция у2 = -ре удовлетворяет уравнению

У2-Ь2:у+( +1)32=0. , . (196)

Положим У2 = е у. При этом уравнение (196) приобретает вид

у + {п+-)у=о,

иначе говоря, становится уравнением (180) при \ = п. Известно, что решение этого уравнения будет

£!

Diz) = e * (г).

Полином H (z) и полином - удовлетворяют одному и тому же

дифференциальному уравнению (181). Следовательно, они пропорциональны *). Коэффициент пропорциональности равен (-1) . Отсюда получается очень важная формула, которая может служить определением для полиномов Эрмита:

Hjz) = {-~\fe-due 2. - (197)

*) Из формулы (182) видно, что второе линейно-независимое частотное решение (181) не является полиномом.