Мы видели выше, что уп удовлетворяет дифференциальному уравнению (196).

Умножая все члены этого уравнения на е, получаем в силу формулы (197): H (z)~ zHn,{z)-h{n+l)Hn(z)=0. (198)

Продифференцируем теперь формулу (197), написав ее для H+iiz). Тогда Hn+iiz)zHn+,(z)-H (z). (199)

Сравнивая формулы (198) и (199), получаем

HUiiz) = (n+l)H,(z). (200)

Так как равно единице при г = 0, то значения полиномов Эрмита и их первых производных при 2: = О не отличаются от значений, найденных для соответствующих функций D (0) (формулы (191), (192)). Первые двенадцать полиномов Эрмита следующие:

H, = z,

H-, = z~Zz, . ,

. ,= 2;5-103+15г,

б=гб-15.г + 452г2-15. (201)

Я, = 2? - 21 + 105гЗ - 1 Обг.

T/g = 8 - 286 Н-2102;4 - 42022 + 105.

Яо=29 -364-3785- 12603 + 9452:, .

= - 458 + 6306 - 3150 + 47252 - 945, 1, = ! -552 +9907 - 69305+ 1732523- 10395, Я,2 = г;12 - 662i0+ 14852 - 1386026+ 519754 6237022+ 10395-Они отвечают общей формуле

Я Z 1) с -2 I !)( -3) - -4 I

... + (-1) - ( - 1-,-/ -+> гп-Р + ... (-202)

7.8.3. Производящая функция и ортогональность полиномов Эрмита.

Рассмотрим функцию ф(2. t) = e-*~P и разложим ее в ряд по возрастающим степеням t:

<i{z, t)h,{z)+-h,iz)t + h(z)+ ... +й ()-+... (203)

Можно сразу заметить, что Лд(2)=1, а h,(z)=z. Функция <р(2. /) удовлетворяет уравнению

- = (2-0т. (20i)

В (204) заменим <р на ряд (203). Приравняв нулю коэффициент при члене, содержащем t , получим

Л +1 (2) - 2ft (2) + ПЛ 1 (.2) = 0.

Это рекуррентная формула, совпадающая с (198). Так как, кроме того, hoiz) = HAz), а h,{z)=Hiiz), то

hn{z)H {z).

Отсюда получаем

(205)

Функция, стоящая слева, называется производящей функцией для полиномов Эрмита.

Если умножить обе части (205) на е то, в силу формулы (187), найдем производящую функцию для функций Вебера - Эрмита;

Исследуем ортогональность функций Вебера - Эрмита. Вычислим интеграл

/= f DAz)D{z)dz= f e H (z)H{z)dz.

Положим nm и применим формулу (197). Имеем / = (-1) / Hiz)

Интегрируя по частям, получим

H,niz)

Внеинтегральный член является произведением полинома на е . Он равен нулю при z==±co. Интегрирование по частям, повторенное т раз, дает

(206)

/ = ( !) -/ HTiz)e-dz.

Но Hlniz) - m\, следовательно, / = (-1) + т!

dz -

-т~1 е

= 0.

Если п==т, формула (206) дает

+ 00 2

/= j Hi\z)e dz = nl J dz = n\Y-

Все это показывает, что если функция /(х) удовлетворяет условиям п. 2.1.0 (условиям Дирихле), то ее можно разложить в ряд по полиномам Эрмита:

/()=Ес,Я,Сх).

Если предпочесть разложение в ряд вида

£ со

f(x) = e 2 2 d,H,(x). (208)

то коэффициенты определяются еще проще:

Вычисления упрощаются, если взять функции Вебера - Эрмита сразу в ортонормированной форме:

D (2) = -. (209)

YnlV27z

То же относится и к полиномам Эрмита:

Н,{г) = --Щ=. - (210)

Замечание. Часто встречается определение полиномов Эрмита, отличающееся от только что рассмотренного, а именно

Hn(z) = i-ire- -1е--\ (211)

Между этими двумя видами полиномов существует простое соотношение

. . Я (.)2Ч( 2). (212)

- 7.9. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА

7.9.1. Определение. Рассмотрим дифференциальное уравнение

~~ ~ + ~ ( -целое ЧИСЛО). (213)

Положим ш == cos t или lu = ch . Получаем

+ 23, = 0 или - 2у = 0.

Эти уравнения допускают соответственно следующие два линейно независимых решения:

y=cos , y==sinref; у = ch у = sh nt. Отсюда находим линейно независимые решения уравнения (213):

Г (ш) = cos( arccos ш) при u)( < 1, (214)

. , Г (ш) = ch ( arch ш) при ш( > 1, . (215)

£7 (u)=isin( агссоБш) при (ш( < 1, (216)

£7 (u)=sh( archcp) при ш > 1. (217)

где . .