Если синусоида, обвитая вокруг цилиндра, помещена на нем таким обра зом, что одна из ее нулевых точек находится на плоскости, проходящей через ось цилиндра параллельно плоскости проекции, то ее проекцией будет кривая и ((о). В области внешней по отношению к интервалу )ш < 1 функция будет вещественна, только если произвести- здесь замену определения, перейдя от ± jAl -внутри к ± Au)2- 1 вне интервала (-1, Пер-

вые шесть функций представлены на рис. 7.58.

7.9.3, Осиовиые свойства полииомов Чебышева. Корни. Все корни Т (ш) вещественны и заключены между -1 и -f-l. Корень номера / дается формулой

(Oj = cos(2/-1)- (t=l, 2, 3, п).

Эти значения (о попарно симметричны, поэтому мы можем написать

7-2 (Ш) = 226-1 2 (ш2 - 0)2) . . . (0)2 - (1)2) . . . (0)2 - 0)2), T2k + i = 22*0) (0)2 - 0)2) (0)2 - 0)) . . . (ш2 - 0)2) . . . (и)2 - 0)2).

Корни f/ (o)) даются выражением

о) = costV/re (t=l, 2, 3, , re-1),

и здесь мы можем также написать

Р2Й (< ) == 22* + 10) (0)2 - 0)2) . . . ( 2 - 0)2) . . . (0)2 - 0)2 j),

P2kti =2 С* -Ь--- С С* - *)-

Корни / (о)) -это значения о), при которых f/ (o)) имеет максимум или минимум, и наоборот.

Исходя из дифференциального уравнения (213), нетрудно проверить, что имеют место соотношения, аналогичные формуле Родрига для полиномов Лежандра *):

(2п-1)

-0)2

;;(1-<о2) -

(1-0)2) 1

1 -З-б ... (2п-1) d n-

Если о) > 1, то во втором уравнении нужно ]Л1 -(в2 заменить на \и>- 1. Ортогональность. Если в интеграле

cos nt COS mt dt =

положить COS t = (o, то получим +1

7 (<о)7 ( ))

О при тФп,

при т - пфО,

тс при т = п = 0.

*) Подобные соотношения верны для любой системы ортогональных многочленов с произвольным весом ([4], стр. 570).

[О при тп,

/ sin nt sin mt dt~\ -к

приводит к формуле +1

rfco

Y при т=п

О при тФ п.

У1 - 0,

при т = п.

J e-J-tJ {t)dt =

- ОЗ + 00

Из этих формул видно, что функции и {ш) и Т ((о) ортогональны в интервале (-1, +1) с весовой функцией (1-

Связь с бесселевыми функциями. Функции Бесселя J {t) связаны с полиномами и функциями Чебышева следующими формулами >):

2(-yr-,d% при ш<1.

О при (в > 1;

2(-уГ при а><1. о при ш > 1.

Эти формулы показывают, что при анализе спектра частот сигналов вида J {t) и f мы должны вводить функции Чебышева и что в этом спектре отсутствуют круговые частоты больше единицы.

Мы видели, что проекция кривых cos raw, sinreto, обвитых вокруг круглого цилиндра с радиусом единица, на плоскость, параллельную оси цилиндра, - это кривые Т (со) и U (ш). Если обвить вокруг того же цилиндра график периодической функции с периодом 2ir, представленной разложением в ряд Фурье:

оо

0+ (a sm п(о-\- bcos пш), то проекция его на ту же плоскость будет представлена разложением вида

*о7о( )+ S lanU M+bJAm)].

При практическом применении полиномов Чебышева часто необходимо решать уравнение ге-й степени

ТпМ = с. (*)

где с - численная константа.

Если \с\ < 1, уравнение (*) имеет п вещественных корней. Положив

cos а -(о, cos 7 = с, имеем а = ~ff Обозначив через Шр = cos ~, находим следующую формулу для корней (*):

= a>oCOS-- yi-0)2

sin-

(fe = 0, 1, 2, re-1).

) Cm. Van der Pol B., Weijers Th., Tchebycheff polynomials and their relation to circular Bessel functions and Lissajous figures, Physica, 1, I, pp. 78-96.

Та же подстановка в интеграле

Если будем исходить из ряда

и обозначим cos л: = (О, то найдем в [cos {t 1/Г=)-1- ysin( /1 - 0)2)] =r

[cos ( arccos со) -f- у sin (д arccos ш)]

Отсюда получим две другие производящие функции:

со со

е*- COS (/f /Ttr = S - J

e- sin {t /1=:=S

Рекуррентные соотношения. Если исходить из формул для cos(c--6) и sin(a-J~) и положить а = тх, Ь = пх, с05х = ю, то легко найдем

Л ) = С*) Т ( ) - (< ) t/Д<о).

Umn = Тп ( )) + f/ (< ) Т , (О)).

Точно так же, исходя из формул для cos (а - Ь) и sin(c-b), получим

Т,п-п М = Т (О)) Т (О)) + Un (О)) f/ (О)).

t/ - Иt/ И И -1/ (< ) г И.

Если с>1, уравнение (*) имеет только один вещественный положительный корень:

, г JL -Ll

ш = [(с4-/2ГГТ) +(£ Ас2-(221)

Производящая функция. Из ряда

со со оо

.-Ц- = V е = S COS их + у 2 е sin nx.

n=0 n=0 n=l

если положить cosx = (b, получим

со со

Отсюда находим две производящие функции:

1-2ГЛ-- И