Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу Наименьшее значение Мо доставляет 7- (х). где Т (х) - полином Чебышева*). Полином Т(х) называется наименее уклоняющимся от нуля. Доказательство. На отрезке - 1 <;х<; 1 полином Т (х) имеет экстремумы в re-f-1 точках Xj = cos- (k~0, I.....ft), причем 7 (Xs) = cos kt. = (-lf. Все значения 7 (х) в экстремальных точках равны по модулю, а знаки последовательно чередуются. Для доказательства теоремы предположим противное. Пусть среди совокупности Рп(х) есть некий многочлен р*(л:), который менее уклоняется от нуля, чем n-i nix)- Многочлен *) Напомним, что 7 (х) = 2 -х -f ... Это дает f/ ( ) f/ = 1 [7 (< )-T-+rt (< )]. tJm Т (ш) = i [f/ + (ш) + t/ - Положив п=1 в первой и последней формуле, получим рекуррентные соотношения: Т-, (ш) - 20)7- (ш) + T-.j (ш) = 0. Формула умножения. Имеем ТЛ Т- (ш)] = [Г (шЛ = cos (rem arccos ш) = (ш). Если /га=2, то Г (20) 1) = 27 (О)) - 1 = Г2 (ш); полагая здесь т=х, получим 7 (2х-1) = Г2 (У. 7.9.4. Фундаментальное свойство полиномов Чебышева. Для этих полиномов имеет место следующая важная теорема. Теорема. Пусть р (х) - совокупность многочленов степени ге с коэффициентом при х . равным единице, заданных на отрезке - Рассмотрим Р = max р (х). - 1 X 1 имеет степень п - 1. По предположению, в + 1 точках р* (х) < Поскольку знаки / (х) в этих точках чередуются, то < мн огочлен р* j {х). в этих п Н- 1 точках последовательно меняет знаки (он положителен там, где 7 ,j(x)<0, и отрицателен там, где 7 (х)>0). Значит, по теореме Коши многочлен {х) -f-f имеет не менее п корней, а это невозможно. Из теоремы вытекает, что полином ге-й степени QAx) = -о.вз? Mil 41) равный 1 при X = 1. в промежутке [-а, а] дает наименьшее отклонение от нуля, равное ± - Рис. 7.59 Пример. Определим промежуток изменения х, в котором (х) .< . Это означает, что нужно найти а из уравнения 75-=10. По формуле (221) находим (10-4-/99)5 4-(l0 - l/99)5j = 1,195. а = 0.837. Функция QsCx) изображена на рис. 7.59. Апроксимация, состоящая в том, чтобы заменять функцию другой, аналитически более простой (этот вопрос подробно разбирается в гл. X), определяемая из условия, чтобы максимальное отклонение было меньше некоторого предела, называется апроксимацией в смысле Чебышева. 7.9.5. Приложение. Если некоторая величина может быть представлена полиномом и если желательно, чтобы изменения ее были наименьшими или. в крайнем случае, в заданном интервале не превосходили определенный предел и. напротив, быстро росли вне этого интервала, тО всегда удобно так скомбинировать .физические переменные, чтобы исследуемый полином оказался полиномом Чебышева. Пример 1). Рассмотрим совокупность четного числа электромагнитных излучателей, расставленных по прямой на расстоянии d друг от друга. Они питаются токами д, g. .. (рис. 7.60). Предположим, что цепь симметрична = р) и что фаза токов растет в арифметической прогрессии: Обозначим Ф = - cos Р - 8. Рассмотрим поле в направлении р в плоскости, нормальной к плоскости цепи. Оно равно полю, вызванному отдельным Рис. 7.60. ) См. D о 1 р h С. L., Ргос. Inst. Rad. Eng., № 6, 1946, p. 335. i(cos--j = 2 aocos(re-l)-2---c,cos(re-3)-+...-}-й cosy Ф , , л, Ф , Ф Можно легко раскрыть этот полином и расположить его по степеням cos(-j, поскольку каждое слагаемое вида cos/ra-j выражается через cos -j формулой r (cos--). Отождествим P j cos-j с полиномом Q степени п-1, т. е. с выра- жением 1 Ф Тогда вторичные лепестки излучения будут все одинаковы и равны в то время как главный лепесток будет равен единице. Если предел (*) будет нам задан, то он определяет величину а, а следовательно, коэффициенты и позволяет найти соотношение между питающими токами. Раствор главного лепестка при этом будет равен а cos (п - 1); он наименьший из возможных. Если же будет задан раствор главного лепестка, то последняя формула определяет а и, следовательно, токи. При этом уровень вторичных лепестков оказывается наиболее низким. Рассмотрим численный пример. Дана цепь из шести диполей, питаемых токами в одной фазе. Они находятся на расстоянии друг от друга ге=4 8 = 0- d = Aj. Требуется определить соотношения токов ~-, ~ таким образом, чтобы отношение главного лепестка ко вторичным было равно 10. /1 \ Имеем Гд-j=10. Отсюда по формуле (221) находим --=1,195 излучателем, умноженному на полином при Если нас. интересует только амплитуда поля, то достаточно рассмотреть модуль P {z), который для четного п равен
|