Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 [ 158 ] 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

Поэтому ток nt) будет

(0= S

+00 .

Z(mj4>)

m=-со

+ СО

Здесь через Z(mj(a) и A(mjw) обозначены комплексное сопротивление и комплексная проводимость простой цепи на круговой частоте тш или же, если речь идет о сложной цепи, комплексное взаимное сопротивление я комплексная взаимная проводимость.

8.1.3. Расчет переходных режимов. Если электродвижущая сила не периодична, то достаточно представить ее интегралом Фурье. Разложение на сумму гармоник с одинаковыми интервалами по частоте можно заменить суммой гармоник, непрерывно пробегающих интервал частот от -сх) до +сх). Тогда

i(t)= J Л( 0(ш)е> йсо

затухнуть и остался только ток, соответствующий установившемуся режиму.

Рассмотрим сначала простую цепь (ветвь, звено, узел). Электродвижущая сила it{t) создает в этой цепи с комплексным сопротивлением Z (Jin),

или комплексной проводимостью А (/ш) = , установившийся ток где

= Z-0 =2,Л(7со).

Если требуется найти установившийся ток, вызванный вещественной электродвижущей силой

u(t)==U cos (ш +

то достаточно взять вещественную часть i(t).

Положим, что мы имеем дело со сложной цепью и требуется найти ток, соответствующий установившемуся режиму в контуре т при включении электродвижущей силы а (t) в контур I. Все сказанное выше остается в силе при условии замены Z{J(si) на взаимное комплексное сопротивление контуров I и т, определенное в п. 1.2.8.

Если электродвижущая сила не синусоидальна, а только периодична, то разложение в ряд Фурье легко приведет к предыдущему случаю. Действительно, если Г - период, то, как мы видели в п. 2.1.8,

с , = у f ti(t)e-J- dt.



G (ш) = f а(т) e-J dz.

причем функции A(juy) и Z(J(si) имеют смысл, указанный выше.

Таким образом, задача расчета переходных режимов полностью решена, по крайней мере теоретически. На практике эта задача приводит к сложным вычислениям. Действительно, требуется вычислить 0(ш) с помощью определенного интеграла. Этот интеграл в большинстве случаев легко найти, так

как соответствующий неопределенный интеграл часто выражается с помощью элементарных функций. Но вычисление i{t) более затруднительно,

потому что неопределенный интеграл от (jl)

большей частью нельзя выразить через элементарные функции.

Попробуем показать это на очень простом примере. Приложим к цепи, состоящей из последовательно включенных самоиндукции, сопротивления и емкости, электродвижущую силу, изображенную на рис. 8.1. Найдем теперь ток как функцию времени. Имеем

. sin СОЕ G((0)=:--.

-е и

Рис.

8.1.

Отсюда

i{f) = j

sin ч>ее

Найти i{t) весьма затруднительно.

Следует, однако заметить, что применение теоремы вычетов и интегрирования по контуру в комплексной плоскости при вычислении определенных интегралов приводит к приемам, подобным приемам, вытекающим из применения формулы обращения Меллина-Фурье, рассмотренной дальше (п. 8.3.22).

Примечание. До сих пор мы находили токи, вызванные электродвижущей силой, заданной как функция времени. Это привело нас к определению комплексного сопротивления и комплексной проводимости. В более общих случаях, когда нужно найти реакцию (до сих пор это был ток) на воздействие (до сих пор это была электродвижущая сила) в установившемся режиме, мы вынуждены ввести понятие обобщенного полного сопротивления или полной проводимости. Тогда

реакция = воздействие X обобщенная полная проводимость =

воздействие

обобщенное полное сопротивление

В дальнейшем воздействия будут напряжениями, а реакции - токами, но они могут быть заменены другими воздействиями, например силами, и реакциями, которые могут быть тогда скоростями, или всякой другой парой воздействие - реакция .



8.1.4. Единичная ступень. Так как разложение непериодической электродвижущей силы на синусоидальные составляющие приводит к весьма трудоемким расчетам, мы можем спросить себя, действительно ли это раз ложение так хорошо отвечает задаче нахождения реакции на внезапно приложенное воздействие и не лучше ли подошло бы разложение на сумму других простейших функций. Простейшая выбранная нами функция - это так называемая единичная функция Хевисайда Г (t), равная нулю при < О и единице при > 0. Чтобы напомнить о форме графика этой функции, назовем ее единичной ступенью (рис. 8.2). Электродвижущие силы, или, более общо, воздействия, внезапно прило-

7 т

0 t


Рис. 8.2.

Рис. 8.3.

женные в момент времени = 0, представлены функциями, равными нулю при < О и равными непрерывной функции времени h (f) при > О (рис. 8.3). Такие функции можно записать в виде

й (О Г СО-Обычно мы будем вместо h{t)T(t) писать h{t), но не следует никогда забывать, что, за исключением специально оговоренных случаев, функция Л {t) равна нулю при < 0.

Функция h{t)i(t) может быть разложена на ступени, как показано на рис. 8.3. Это разложение приводит к гораздо более простым, а главное, к более автоматическим расчетам при помощи операционного исчисления.

8.2. ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ХЕВИСАЙДА

Для цепи, находящейся в равновесии, основная задача - это отыскание токов и потенциалов при приложении некоторой электродвижущей силы в момент времени = 0. Цепь должна находиться в равновесии до приложения электродвижущей силы, иначе говоря, токи а заряды тождественно равны нулю от t - - оо до = 0. Это основное предположение.

8.2.1. Определение переходной реакции. Дана цепь, находящаяся в равновесии. Введем внезапно в контур I цепи воздействие (в данном случае электродвижущую силу), равное единичной ступени Г(0-

Пусть Ai(t) - ток в контуре т этой цепи. Тогда принято говорить, что ЛДО - переходная реакция контура т относительно контура I. Можно показать с помощью обобщенной теоремы взаимности, что

Очевидно, что знание всех таких функций, как Л, ДО решает поставленную вначале задачу для электродвижущей силы Г (О- Мы покажем, что знание Л, ДО достаточно также для решения основной задачи при любой электродвижущей силе, если только она приложена в момент времени = 0.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 [ 158 ] 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251