Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу Поэтому ток nt) будет (0= S +00 . Z(mj4>) m=-со + СО Здесь через Z(mj(a) и A(mjw) обозначены комплексное сопротивление и комплексная проводимость простой цепи на круговой частоте тш или же, если речь идет о сложной цепи, комплексное взаимное сопротивление я комплексная взаимная проводимость. 8.1.3. Расчет переходных режимов. Если электродвижущая сила не периодична, то достаточно представить ее интегралом Фурье. Разложение на сумму гармоник с одинаковыми интервалами по частоте можно заменить суммой гармоник, непрерывно пробегающих интервал частот от -сх) до +сх). Тогда i(t)= J Л( 0(ш)е> йсо затухнуть и остался только ток, соответствующий установившемуся режиму. Рассмотрим сначала простую цепь (ветвь, звено, узел). Электродвижущая сила it{t) создает в этой цепи с комплексным сопротивлением Z (Jin), или комплексной проводимостью А (/ш) = , установившийся ток где = Z-0 =2,Л(7со). Если требуется найти установившийся ток, вызванный вещественной электродвижущей силой u(t)==U cos (ш + то достаточно взять вещественную часть i(t). Положим, что мы имеем дело со сложной цепью и требуется найти ток, соответствующий установившемуся режиму в контуре т при включении электродвижущей силы а (t) в контур I. Все сказанное выше остается в силе при условии замены Z{J(si) на взаимное комплексное сопротивление контуров I и т, определенное в п. 1.2.8. Если электродвижущая сила не синусоидальна, а только периодична, то разложение в ряд Фурье легко приведет к предыдущему случаю. Действительно, если Г - период, то, как мы видели в п. 2.1.8, с , = у f ti(t)e-J- dt. G (ш) = f а(т) e-J dz. причем функции A(juy) и Z(J(si) имеют смысл, указанный выше. Таким образом, задача расчета переходных режимов полностью решена, по крайней мере теоретически. На практике эта задача приводит к сложным вычислениям. Действительно, требуется вычислить 0(ш) с помощью определенного интеграла. Этот интеграл в большинстве случаев легко найти, так как соответствующий неопределенный интеграл часто выражается с помощью элементарных функций. Но вычисление i{t) более затруднительно, потому что неопределенный интеграл от (jl) большей частью нельзя выразить через элементарные функции. Попробуем показать это на очень простом примере. Приложим к цепи, состоящей из последовательно включенных самоиндукции, сопротивления и емкости, электродвижущую силу, изображенную на рис. 8.1. Найдем теперь ток как функцию времени. Имеем . sin СОЕ G((0)=:--.
Отсюда i{f) = j sin ч>ее Найти i{t) весьма затруднительно. Следует, однако заметить, что применение теоремы вычетов и интегрирования по контуру в комплексной плоскости при вычислении определенных интегралов приводит к приемам, подобным приемам, вытекающим из применения формулы обращения Меллина-Фурье, рассмотренной дальше (п. 8.3.22). Примечание. До сих пор мы находили токи, вызванные электродвижущей силой, заданной как функция времени. Это привело нас к определению комплексного сопротивления и комплексной проводимости. В более общих случаях, когда нужно найти реакцию (до сих пор это был ток) на воздействие (до сих пор это была электродвижущая сила) в установившемся режиме, мы вынуждены ввести понятие обобщенного полного сопротивления или полной проводимости. Тогда реакция = воздействие X обобщенная полная проводимость = воздействие обобщенное полное сопротивление В дальнейшем воздействия будут напряжениями, а реакции - токами, но они могут быть заменены другими воздействиями, например силами, и реакциями, которые могут быть тогда скоростями, или всякой другой парой воздействие - реакция . 8.1.4. Единичная ступень. Так как разложение непериодической электродвижущей силы на синусоидальные составляющие приводит к весьма трудоемким расчетам, мы можем спросить себя, действительно ли это раз ложение так хорошо отвечает задаче нахождения реакции на внезапно приложенное воздействие и не лучше ли подошло бы разложение на сумму других простейших функций. Простейшая выбранная нами функция - это так называемая единичная функция Хевисайда Г (t), равная нулю при < О и единице при > 0. Чтобы напомнить о форме графика этой функции, назовем ее единичной ступенью (рис. 8.2). Электродвижущие силы, или, более общо, воздействия, внезапно прило-
Рис. 8.2. Рис. 8.3. женные в момент времени = 0, представлены функциями, равными нулю при < О и равными непрерывной функции времени h (f) при > О (рис. 8.3). Такие функции можно записать в виде й (О Г СО-Обычно мы будем вместо h{t)T(t) писать h{t), но не следует никогда забывать, что, за исключением специально оговоренных случаев, функция Л {t) равна нулю при < 0. Функция h{t)i(t) может быть разложена на ступени, как показано на рис. 8.3. Это разложение приводит к гораздо более простым, а главное, к более автоматическим расчетам при помощи операционного исчисления. 8.2. ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ХЕВИСАЙДА Для цепи, находящейся в равновесии, основная задача - это отыскание токов и потенциалов при приложении некоторой электродвижущей силы в момент времени = 0. Цепь должна находиться в равновесии до приложения электродвижущей силы, иначе говоря, токи а заряды тождественно равны нулю от t - - оо до = 0. Это основное предположение. 8.2.1. Определение переходной реакции. Дана цепь, находящаяся в равновесии. Введем внезапно в контур I цепи воздействие (в данном случае электродвижущую силу), равное единичной ступени Г(0- Пусть Ai(t) - ток в контуре т этой цепи. Тогда принято говорить, что ЛДО - переходная реакция контура т относительно контура I. Можно показать с помощью обобщенной теоремы взаимности, что Очевидно, что знание всех таких функций, как Л, ДО решает поставленную вначале задачу для электродвижущей силы Г (О- Мы покажем, что знание Л, ДО достаточно также для решения основной задачи при любой электродвижущей силе, если только она приложена в момент времени = 0.
|