Если приложить постоянную электродвижущую силу Е в Момент ==0, то ток равен EA(t) (для простоты записи опускаем индексы). Если ту же электродвижущую силу Е приложить не в момент = О, а в момент т, то ток будет равен EA(t - т). Рассмотрим теперь электродвижущую силу любого вида, приложенную в момент = 0, например E(t). Если разделить промежуток времени от О до на и отрезков Д, как это показано на рис. 8.4, то можно рассматривать воздействие этой электродвижущей силы как результат воздействия постоянной электродвижущей силы £(0), приложенной в момент = 0, затем электродвижущей силы Ajf, приложенной

в момент времени Д, и т. д. до Е, приложенной в момент иД = f. Ток можно рас- сматривать как сумму токов

* E(0)A(t). \yEA(t-M). \A(t-2M),...

А ЕА(0).

\й Е Если увеличивать до бесконечности 4 число п, то пределом ломаной, изображенной I на рис. 8.4, будет кривая Eit). Заменяя Д£ \Е(0) дифференциалом dE = E(t:)dz и переходя [ от суммы к интегралу, получим

E(t)

Рис. 8.4.

t (t) = £ (0) Л (0 + / Л (t.- т) £ (т) dx. (1)

Так как E{t) задана, то достаточно знать Л (О (переходную реакцию), чтобы найти i(t).

Предыдущее выражение может иметь несколько видов. Заменим в равенстве (1) т на t-6. Тогда интеграл принимает вид

f E(t - G)Aie)(~de).

Приняв снова прежние обозначения, получаем равенство

i(t)=EiO)A{t)-+-JA(x)E{t-z)dT,

которое эквивалентно (1).

Если интегрировать по частям, то

JAit - T)E (т) dT=.[Ait - T)E (т)]1 + j Ei)Ait - т) dx,

f A(t - x)E(T)dT-\-A{t)E{0)=A(0)E{t)+- f E (т) A(t т) dx.

поэтому

. i(t)A{P)E(t)-\- j E{x)A(t - x)dz.

) Припомним здесь формулу дифференцирования под знаком интеграла для случая, когда пределы интегрирования переменны. Требуется продифференцировать по t

i>(t). a(t)

Дадим t приращение h. Мы легко получим

a(t) b(t)

f{t-\-h)-F(t) 1 -

a(t+h) ab)

+ J / /(+->-

Для вычисления первого и третьего интегралов воспользуемся теоремой о среднем значении:

j f (z) dz = {b - a) / (fx), a < fx < b.

Если устремить h к нулю, то в пределе получим

6 да

F(t)= J dz + b (t) f \U b{t)]-a(t) f [t, a (t)].

Это выражение, иримененное к формулам (5) и (6), дает, как легко заметить, формулы (1)-(4).

Сделав в этом выражении замену переменной т = f - 6, получим

i(t)=A(0)E(t)-\-}Eit - T)AiT)dz. (4>

Можно заметить, что формулы (1) - (4) являются результатом операции

дифференцирования*) по / либо E{t-т)Л(т)йт, либо E{z)A(t - z)dz.

- о о

Поэтому имеем также

t

=4tf E{t-z) dz. (5)

. о . . . / - ,

iit) = -fAit - z)E(T)dz. (6)

Формулы (1) - (6) показывают, что знание переходной реакции достаточно для вычисления i{t).

8.2.2. Вычисление переходной реакции. Рассмотрим в цепи два контура т и 1. Мы видели (п. 1.2.8), что если приложить напряжение е-/ в контуре Z, то установившийся ток. идущий в контуре т, будет равен

Приложим напряжение е в том.же контуре (р - вещественное или комплексное число, причем R(p)>0). Тогда ток установившегося режима, текущий в контуре т, будет равен

Выражение Zi{p) представляет собой обобщенное взаимное сопротивление контуров lam:

D(p)

D (р) - симметричный определитель:

D(p) =

in Z2n

-nl

112

Mi(p) - алгебраическое дополнение элемента 2.

Элементы z

z n - это собственные и взаимные обобщенные сопротивления контуров. Имеем

= PJlm + Рш +

Символы Lj, Cj были определены в п. 1.2.8.

Рассмотрим формулу (7). Если положить

получаем

Функция имеет ту же форму, что и воздействие г. Это очевидно, поскольку речь идет об установившемся токе. В соответствии с выражением переходная реакция назовем изоморфной реакцией . Коэффициент

У1т(.Р) который можно было бы назвать обобщенной переходной проводимостью, будет называться здесь коэффициентом изоморфной реакции.

Если требуется записать общий ток идущий в контуре т при внезапном включении электродвижущей силы е в контуре /, нужно прибавить к установившемуся току свободный ток x(t):

Мы знаем также .другое выражение для тока I,n(t); оно дается формулой (5), где E{t) = ePK Тогда

Im (t) = pe f (t) e- dx+ At(t).

Приравняем выражения (8) и (9):

У1т(.Р) =

Zto iP)

d-i-lAiAt)-xit)]e