Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [ 16 ] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

Пример. Вычислить

Функция f(z)= +z) имеет два полюса второго порядка z=±Ji

-fu (-1<а<3).

о 1

2( -1)

Следовательно,

1-я l-ej

а - 1 -ч - 1

4у -/ /2

4/ -/- /2 1 е2/< 4 COS 71/2

1.3.25. Применение теоремы о вычетах к суммированию некоторых рядов. Рассмотрим ряд

+(Х>

п = -оо

Положим, что функция fiz) голоморфна на всей плоскости z за

исключением нескольких полюсов а, , а, вычеты относительно которых

равны bi, .... бд,. Контур С заключает в себе все полюса f(z) и точк:? О, + 1, ± п вещественной оси.

Числа Cj, а, разумеется, не целые, так

как иначе ряд не имел бы смысла.

Рассмотрим функцию ср (z) = т ctg тег/(г), ко- fiJfJ) торая внутри контура С имеет в качестве полюсов полюса / {z) с .вычетами -кЬ ctg-ка, Tcftg ctg гсг .... тгб J ctg и точки О, + 1, ..., ± /г с вычетами /(0), /(±1), f(±n). Имеем ~

f ср (Z) dz = {/(- )+/( й + 1) + ...

Если контур С при бесконечно возрастаю- Рис. 1.35.

щем п отодвигается в бесконечность, причем криволинейный интеграл функции (р(2) по С стремится к нулю, то можно вычислить сумму рассматриваемого ряда. Эти условия соблюдаются, если, например, в качестве контура С использовать квадрат, пре.аставленный на рис. 1.35, и считать, что при бесконечном возрастании \z\ произведение zf {z) равномерно стремится к нулю.

Выберем п достаточно большим, чтобы п/{п)<:г\ ctgscz ограничен на С , пусть М - его верхняя граница. Тогда справедлива оценка

/ zfiz)dz

<

471£Ж (2/2 + 1) /г+ 1/2

Следовательно, контур С отвечает поставленным условиям и

+ сг.

S /( ) = -it ctg ufli+- ... bi,ztgT.aj,\.



Пример 1. Вычислить -а Функция 22 стремится к нулю.

когда 11 бесконечно возрастает. Функция 2 не имеет полюсов при

значениях z, равных целому числу, и голоморфна на всей плоскости, за исключением г = ± ja. Следовательно,

=i+2 5;-у=-u {ctg +

Ctn Uft.

Значит,

cth тса.

Замечание. Если вместо ctgnz использовать условиях можно суммировать ряды вида

со П= -со

П р и м е р 2.

(-1) 1 i 1

,г2 1 а2 Т 2й sh таг *

то при тех же

1.4. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

L4.1. Определение. Дана аналитическая функция Z=f{z). Если точка т с аффиксом z = х -\- Jy описывает кривую т в плоскости z. то точки М с аффиксом Z-X~\-JY описывает кривую Г в плоскости Z

Рис. 1.36.


(рис. 1.36). Кривая Г называется образом кривой у, точки Мит называются соответствующими. Основное свойство этого преобразования состоит в том, что оно сохраняет углы и, сле,аовательно, вид бесконечно малых элементов. Поэтому оно называется конформным (conforme - подобный).

Действительно, пусть т, т - две соседние точки на кривой у, а М и М - две соответствующие точки на кривой Г. Если обозначить через



(f) и Ф углы между mm и Ох и между ММ и ОХ, то

В этих формулах mm и ММ означают длины соответствующих отрезков. Если т стремится к т, то М будет стремиться к М. Можно показать*),

что при этом отношение длин стремится к \f{z)\, а угол поворота

(Ф - (р)-к аргументу производной функции f {z). Таким образом,

dZe \f{z)\dz.-

Это означает, что при конформном отображении элемент dz удлиняется в j/(2) раз и поворачивается на угол arg/(г). Такое же преобразование испытывает любой бесконечно малый элемент компяексной плоскости.

Если Y] и Y2 - две кривые в плоскости z, проходящие через точку z. и образующие друг с другом некоторый угол, то такой же угол по величине и по знаку образуют между собой образы этих кривых Г, и Т.

Проведенные рассуждения перестают быть верными в точках, где производная равна нулю или где ее модуль бесконечен. Действительно, рассмотрим, например, функции Z = kz (пу- 1) и Z = - (см. случаи а) и г)

п. 1.4.2). Две прямые, проходящие через начало координат и образующие между собой угол ср, преобразуются в плоскости Z в две прямые, образующие между собой угол пф (случай а) и - ср (случай д). В первом примере модуль производной в начале координат равен нулю, во втором - бесконечности.

Отделяя в равенстве Z = f (z) вещественные и мнимые части, получим Z=X-+-jYf(x-\-Jy) = Xix, у) + уТ(х. у).

Если точка Z описывает кривые X {х, у) = const или К (л:, у) -const в плоскости г, то точка Z описывает прямые, параллельные осям OY, ОХ (рис. 1.37 ). Следовательно, в силу сохранения jrrлов кривые (х, у) = const

Рис. 1.37.

и Y{x, у) = const ортогональны, (х, у) и К(х, у) - вещественная и мнимая части f (z)-называются сопряженными функциями.

Часто бывает проще рассматривать не Z = f{z), а обратное преобразование z = F (Z). Приравнивая вещественную и мнимую части, получаем

х = х(. К),

у==у(Х, Y).

*) Подробнее см. [1], стр. 96-99.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [ 16 ] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251