f{p) = p\ h{t)e~Pdt.

является целью операционного исчисления. Для того чтобы коротко выразить, что f {р) и h{t) связаны таким соотношением, принято пользоваться особым значком, соединяющим эти функции. Так как функции, образующие пару, не равноправны, то значок не симметричен. Например,

f(p)c:h(t).

h(t)f{p).

В интересующем нас случае мы видим, что, вычислив yimiP) - --( описанным способом, можно получить Л(0 из соотношения

Дальнейшее рассуждение позволит осуществить это вычисление. Тогда легко будет вычислить и ток.

Ток, идущий в контуре т при включении в контур I электродвижущей силы E(t) в момент = 0, равен

t t

im (О = / Ai , (т) Eit~T)dT=J Л, (г? - т) £ (т) т. о о

Только теперь становится существенной форма электродвижущей силы. Дальше (п. 8.3.10) мы увидим, что если

E{t)Uip). . . .

т. е. если U(р) - функция, выраженная интегралом

U{p)=pJ E(t)e-P dt,

о / г -

и, как мы уже имеем.

Если устремить t к бесконечности, то

Мы видим, что переходная реакция, знать которую необходимо и достаточно для определения тока, соответствующего приложенной электродвижущей силе любого вида, связана с величиной, обратной обобщенному полному сопротивлению, или с коэффициентом изоморфной реакции у(р), интегральным уравнением. Эта формула соответствия между функцией у(р) и функцией A(t) называется интегральным уравнением Карсона . Такое функциональное соотнощение позволяет, зная коэффициент изоморфной реакции (его можно получить простым вычислением), узнать переходную реакцию, а следовательно, и реакцию на соверщенно произвольное воздействие. Поэтому интегральное уравнение Карсона -это мостик, позволяющий перейти от установивщихся токов к переходным.

Изучение пар функций f (р) и h(t), связанных соотношением

можно заменить на

im(t)-=yim(P)l(P)- 01)

Здесь мы снова встречаем зйкон Ома, но уже в операционной форме. Это обобщение закона Ома для установившихся синусоидальных режимов:

которое само являлось обобщением классического закона постоянных токов .

8.3. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

8.3Л. Преобразование Лапласа. Преобразование Карсона. Операционное исчисление рассматривает либо функции, связанные интегральным преобразованием Карсона

f(p)==pfh(t)e-Pdt,

либо функции, связанные преобразованием Лапласа

со

. . Р(р)= j hit)e- dt. .

Можно заметить, что между обеими функциями / (р) и F (р), связанными с h{t) этими формулами, имеется соотношение

. РР(Р) = /(Р)-

Интегральное уравнение Карсона естественно входит в изучение электрических цепей. Мы, однако, будем пользоваться преобразованием Лапласа, согласно общему направлению, намечающемуся в международной технической литературе.

Мы записывали функциональное соотношение, определенное интегральным уравнением Карсона, в виде

f(p)czh(t),

h{t):Df{p). .

В функциональном соотношении, определенном преобразованием Лапласа, следует пользоваться другим значком: ...

FiP)[lh(t), h{t)-3F(p).

Говорят, что F{р)- изображение h{t) и, наоборот. h(f) - это оригинял . F (р). Следует отметить, что р - комплексная, а t - вещественная переменные.

то соотношение

Если пользоваться преобразованием Лапласа, то соотношение (11) сохранится. Оно будет иметь вид

U{p)

Zlm (Р)

(12)

Но здесь U(p)3E(t) (преобразование Лапласа).

Формула (12) показывает, что в случае преобразования Лапласа переходная реакция имеет вид

Теперь следует ответить на такой существенный вопрос: каким условиям должна удовлетворять . функция h{t), чтобы существовало изображение F (р).

Для сходимости интеграла

J h{t)e-Pdt

(13)

необходимо и достаточно, чтобы

Рис. 8.5.

) интеграл h{t)dt существовал при любом

конечном Л > 0;

2) существовало такое число а > О, что

Jim е- Г h(t)dt = Q.

Рис 8.6.

Ввиду того что проверка существования изображения по необходимому и достаточному условию, как правило, оказывается затруднительной, приведем достаточное условие, более удобное практически:

Если h{t) кусочно-непрерывна в любом конечном промежутке и существуют такие положительные числа М и а, что

I h (t) I < МеК . . :

то h{t) имеет изображение.

На протяжении гл. VIII Мы все время будем предполагать, что все рассматриваемые функции вещественной переменной имеют изображения.

Рассмотрим несколько примеров.

Пусть h (t) = с. Найдем изображение функции (рис. 8.5)

сГ(0.

Имеем

Отсюда

Найдем изображение функции h(t)=- (множитель- единичная ступень - подразумевается). Эта функция представлена на рис. 8.0. Изображение