Этот интеграл легко вычисляется по частям;

Отсюда

оо со

J nl p J (n -1)!

рп+i

Правила операционного исчисления

8.3.2. Сложение. Так как преобразование Лапласа - операция линейная, то очевидно, что из

FiiP)СЙ1 (t). (р)СЙ2(О. РАр)СК(О

следует

Fi(p)+F2iP)+ +Pn(P)Ch,(t) + h,(t)+ ... +h (f).

Изображение суммы равно сумме изображений. Оригинал суммы равен сумме оригиналов. Это верно при любом числе слагаемых. Отсюда вытекает следствие. Рассмотрим разложение в степенной ряд функции h{t):

Согласно правилу сложения и соотношению (14), получаем разложение функции F{p) в ряд по возрастающим степеням 1/р:

F(p)= + + ... +.

Если же, зная функцию F(p), мы хотим определить функцию h(t), то обратная операция позволит нам получить разложение h(t) в степенной ряд из разложения F (р) по убывающим степеням 1/р. Может показаться, что если сделать оговорку о существовании и сходимости рассмотренных выше рядов, то этот прием можно считать общим, но, к сожалению, редко оказывается возможным суммировать степенные ряды. Даже если не требуется аналитическое выражение искомой функции, сходимость может оказаться не достаточно быстрой для численных методов. Однако в некоторых случаях этот способ можно с успехом применять.

Пример 1. Найдем оригинал функции F(р)--- р Разложим

в ряд по возрастающим степеням

р + а - р а - р р- р -Г. i;

1 t

Заменим в этом разложении +1 Тогда

+ СО

Я=0 - . .

имеет вид -

Се--. (15)

Приложение. Рассмотрим электрический контур R, L, С (рис. 8.7). Включим в момент ==0 постоянную электродвижущую силу Е. Найдем ток i{t). Формула (12) дает

Здесь £

С =1

ruxruT J

Тогда

Z(p) = Lp + R+. Рис. 8.7.

/ 2 d , 1 (.Р2-Ру)[т~ Р-Ру)\

Lj + Rp + -

2L V LC 4l2

Оригиналы p p p соответственно равны cP и eP*. Поэтому

LC 4L

Пример 2. Найдем изображение Jit). Известно, что

Заменим в этом разложении t на Тогда

р, ч 1 V (-1) 1 (2 )! V/ п ЬЗ...(2/г-1) I Р~ р {п\у 2 /я ~ р 2-4... 2/г рв

п=0 п=0

Можно узнать здесь разложение -i- 1 + - j . Следовательно,

/()L. 06)

Пример 3. Докажем следующее соответствие:

где л: - параметр.

Это разложение в степенной ряд Следовательно, .

-е С/х J,(2/xO. (19)

Таблица, помещенная в пп. 8.3.28-8.3.30, - нечто вроде операционного словаря - дает большое число преобразований. Приведем быстрый и удобный способ вычислений с использованием этого словаря.

Решение физической или . математической задачи ведет к отысканию функции h{t) - оригинала известной функции F (р). Просмотрев словарь, мы найдем соответствие между некоторой функцией g{t) и Ф{р), близкой к функции F(p). Простыми преобразованиями можно добиться совпадения ее с F{py Применение правил соответствия, которые устанавливаются ниже, даст коррективы, касающиеся одновременно и функции g{ty и задача будет решена.

Во всем последующем мы будем предполагать, что функции F{р) и h(t) связаны преобразованием Лапласа:

F{p)nh{ty (20)

иначе говоря,

F{p) = f e-Ph(t)dt. (21)

8.3.3. Изменение масштаба. Если заменить в преобразовании Лапласа (21) р на kp (k - положительное вещественное число), то

F{kp)= f e-Phdt.

Заменив на получаем

:F(kp) = fe-Ph({)dL

Это равенство дает

А(АР)СЛ(-). . (22)

Разлагая обе части в ряд, убедимся, что ..... . ,

Сравнивая общие члень!

получаем

рГ+п+1 □ (г + пу.

что уже известно.

Если в общей формуле положить /г=0, а затем и-1, то получаем : ~е [1ФУ1 (18)