со со

fdp f dp... f FipydpC-- (39)

p p p

8.3.10. Теорема свертывания, или теорема Бореля. Даны две функции Л,(О. /2(0, имеющие соответственно изображения Fy{p), Fip)- Найдем оригинал для произведения f i (р)/2 (Р)- Рассмотрим формулу преобразования Лапласа, относящуюся к функции /2i(t):

F,{p) = fe-Ph,{c)d.

о

.Умножим обе части на Fp):

F,ip)F{p) = j e-PF{p)hy{i)dz.

. . о

В силу формулы (34) получаем

e~PF{p)[lh{t-z)Xit - z).

Следовательно,

со со

e~P-F{p)hy{z)dz\Z j K(.e)hit~z)r{t - z)dz.

Ввиду наличия Т (t - т) вклад интервала < т < + схэ в интеграл равен нулю, и можно написать

оо t

.. jhy{z)h2(t~z)T{t - T)dzjhiiz)h(t - z)dz.

Итак, теорема свертывания может быть сформулирована следующим образом: Если

Fi{p)[lh(t), Fip)\Zh(t),

fi(P)F2(P) □ / 1 ()h(t - x)dx=fh,(t-x)Й2(X)dx. (40)

8.3.9. Интегрирование функции f{p). Проинтегрируем по р от р до бесконечности обе части формулы преобразования Лапласа. Получаем

со со

fFip)dp= fl-.e-PXat. р 6

Отсюда . . .

/ FiP)dpC- (38)

Проинтегрировав п раз в тех же пределах, получаем

= Р f e-PA{t)dt.

Отсюда

Если приложить электродвижущую силу E(t), то получим выражения для тока в виде

= Чг1 A(z)E(t-z)d-. = l J A{t-t)Eiz)dx. (41)

Пусть и {р) - такая функция, что

U{p)[ZE{t).

Теорема свертывания дает

A(c)E{t-z)d.= f A{t-z)E{z)d-. 6 о

f t

WrC-f AEit-<)d. = - fA{t-z)E{z)dz. (42)

Сравнив формулы (41) и (42), получаем

/(03-. (43)

Это замечательное обобщение закона Ома для переходных режимов. 8.3.11. Различные формулы. Докажем формулу

с п

Jn (7)с/- 2 V-t)hl,-€)dz.

Она может быть полезной, если, зная оригинал F {р), мы хотим найти оригинал ()- . .

Заменим на - в формуле преобразования Лапласа:

= /е й(т)йт.

Разделим на р *Ч

Тогда, исходя из формулы (17), можно написать . ; .

ТШ/И- -

Примечание. Теория электрических цепей Хевисайда показала, что переходная реакция связана с обобщенным сопротивлением уравнением

1 Г --

При доказательстве формулы (77) мы придем к выводу, что

Заменим в этом равенстве и на х. Тогда

со 2

ре2. у* e~dx==. о

Считая, что получаем из предыдущего выражения

Vr Y ,

Если /г = 0, то

Докажем формулу

Для этого будем исходить из формулы

. . 1р -

которая доказывается ниже (п. 8.9.20, формула (78)). Продифференцируем обе части (48) по т:

Заменив р на Yp формуле преобразования Лапласа, получаем

F (Yp) = j e-h (т) dx.

Пользуясь соотношением (49), найдем

- 1 Лх

F{Yp)[lyJ ehb)dz.

Докажем формулу