Подставив (*), получим

<p(;?) = -L У /е hitydxdt

тогда

о о или

со со

(p(jo) = - f е dx f e-th(t)dt. Заменив p н& x в формуле преобразования Лапласа, получаем

F{x-) = j e-h{t)dt,

р(р)~ J Fix)e dx.

Мы получили выражение, которое поможет вычислить изображение h{t, если известно изображение h(ty.

h(tZ}--U- f F{xe dx. * о

8.3.12. Теорема разложения Хевисайда. Теория разложения рациональных функций на простые дроби показывает, что если F {р) - полином т-й степени, имеющий лишь простые корни а , а /(/?) - любой полином низшей степени, то имеет место тождество

f(p) /(0) I V /Ю L

PF(р) ~ pF(0) ~ Li a F (й ) р-ап\ в силу соотношения (15)

Р - о-п

Обозначим через hif) такую функцию, что

/(□. .(50)

Тогда

Формулы (50) и (51) представляют собой теорему разложения Хевисайда.

Установив это, обозначим через изображение h(t. Имеем

Если в этом выражении заменить на , то

2) свободный ток

-Z(0)

Пример 1. Найдем ток, вызванный приложением в момент i - 0 постоянной электродвижущей силы Е к дросселю с самоиндукцией L и сопротивлением R.

Обобщенное сопротивление равно

Zip)=Lp + R. .

Отсюда

е , е е(, -Л

= -R--R- --R- I

Пример 2. Приложим ту же электродвижущую силу к цепи, состоя-шей из самоиндукции L, емкости С и сопротивления R, соединенных последовательно.

Обобщенное сопротивление равно

Zip)==Lp + R-\--.-

Применим теорему разложения к дроби

ЕСр

piCLp + RCp+l)

Установившийся ток отсутствует. Свободный ток равен

lit)-Ее [2( ц ур)ц /? + 2L( a-yP)-f/? иначе говоря.

если считать, что

. R d 1, / 1 R

=2Г- УТСЖ-

8.3.13. Приложение теоремы разложения к электрическим цепям.. Случай постоянного напряжения. Дана цепь, находящаяся в момент t - 0 в равновесии. В этот момент прикладывают в одной ее точке постоянную электродвижущую силу Eq. Найдем ток, который будет течь в определенном контуре. Пусть Z{p) - обобщенное взаимное сопротивление. Величина, обратная ему, всегда представляется в виде отношения двух полиномов f{p)jFip). Степень /(/?) меньше степени Fp). Ток /(/) таков, что

(>- pZ(p)--JFW Если применить к этому выражению теорему разложения, то

Ток i(t) можно рассматривать как сумму двух токов: 1) установившийся ток

Достаточно применить теорему разложения к дроби

EoPf(p) p{p - Mf(p)

чтобы получить

i (t) = 0 eJ -1- V <f(n) /53У

ToK i(t) также можно рассматривать как сумму двух токов:

1) установившийся ток

что является уже известным результатом; ,

2) свободный ток .......

0. (a ~MF(a ) n-l

Конечно, если нужно узнать токи, соответствующие электродвижущей силе Eq cos wt, то достаточно взять вещественную часть результата.

Пример. Рассмотрим ток, вызванный приложением электродвижущей, силы Ecoswt к цепи, состоящей из дросселя с сопротивлением.

Обобщенное сопротивление равно

Z{p) = Lp + R. .....

Применим формулу (53). Тогда

-£-1 . -А,

jv,L + R ~ i P, jAi ~ R+JL R + j<L

Вещественная часть равна Ер

fL4>-{-R

где . .

Примечание- Рассмотрим рациональную дробь Пусть поли-

ном /ге-й степени F {р) имеет только простые корни й. Тогда имеет место тождество

fiP) У Пап) 1 F(p) -А F(an) р-ап .

8.3.14. Случай переменного напряжения. Дано напряжение Ее Имеем