Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 [ 165 ] 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

F(P)

n = l

(54)

8.3Ло. Случай кратных корней. Случай, когда полином F (р) имеет кратные корни, приводит к более сложной формуле. Рассмотрим отношение двух полиномов

F{.p)

и предположим, что степень числителя меньше степени т знаменателя.

Если знаменатель имеет кратные корни, то его можно записать в виде

F {Р) = {Р- iP ~ 2) {Р~ {Р- afr.

Тогда

/(/>) . -4iy .

Fip) (/- .Г (/- .Г- + 1 -а.

(р-ап) (р-а )к

ip-a.f---

... +

Р - а-ь

г ft

/(/>) V V

<> x.ti (Z-ft) -

Вычислим коэффищ1енты Лр A, .... A. Умножим (*) на (/7-а,) . Имеем

-(= = Л,1+Л,2(/7-а,)+ ... +Лft (;;-aft) й +

+ (/7-а,) *Ф(/7),

где функЩ1я Фр) сохраняет конечное значение при р - а. Поэтому

fti-

-P= ft

Дифференщ1руя предыдущее выражение, получим тем же способом

ft2 =

d {p-ak)f{P) I dp P(p)

Осуществляя дифференщ1рование J-1 раз, находим

Отсюда вытекает формула, несколько отличающаяся от теоремы разложения;

f(p) г- у /( 1- Zi FU



1 t -

iiu-j+l I- (пи- Л!

Отсюда

i (55)

k-t j-i

0-1)! Ld- F(p)

Примечание. Ha практике всегда полезно проделать непосредственно предыдущее вычисление, а не применять формулу (55), так как она довольно сложна.

Пример. Требуется найти оригинал для

Р+1 . I В С , D .

Умножим обе части на р-\-2 и подставим = - 2. Тогда

= W Умножим обе части на (р-1). Тогда

Aip-lf+B(p~l)+C + D.

Если положить в предыдущем равенстве и равенствах, полученных его однократным и двукратным дифференцированием, р=1, то найдем

С-1 Б 1 л-

.~3 9 27

Отсюда искомый оригинал

(?-1)4/+2) 27 [39 27

Преобразование некоторых употребительных функций

8.3.16. Оригиналы некоторых рациональных функдий. Мы уже получили формулу (14):

Найдем оригинал функции -j- для случая, когда v - любое комплексное число, но с вещественной частью, большей чем - 1.

Известно, что одно из определений эйлеровой функции второго рода (п. 7.4.1) -это

r{\-\-l)=J e-xdx, R(v)> -1.

о

Положим x - pt. Тогда

r(v-i- l)=jo J e-Ptp4dt. .

С другой стороны, известно, что



Л+1 J Г(

(56}

Формула (56) совпадает с формулой (14), если v равно целому числу я, так как Г(/г-}-1).=/г!

Придадим ч значение 1/2. Тогда

-\~ }- так как г(- = l/ir.

Применим формулу (33) к равенству (56). Получаем

f 1

r(v+l)(p+X)+i-

(57)

(58)

Если положить в этом соотношении v = 0, то мы получим уже известную формулу (15):

р-{-1

Если придать X значение -J, то -~rj

Отделим вещественные части от мнимых:

cos mtlJ-

sin u)tZ]

p + I

Придадим X значение X - Jw. Тогда

-r---e~teiK

/7 + 0)2

(59)

t. e.

-f±±fC .-4C0S 0) 4-У Sin 0)0-

Отсюда, приравняв вещественные и мнимые части, получаем

4.)4. 0)2

□ е~ cos o)f,

□ e-sintof.

(60)

Если в формулах (59) заменить t на jt, применив формулу изменения масштаба (22), то

shf □

р- \

р-1

sh 4>t □ ch Hit □

p2 0)2

-

Отсюда



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 [ 165 ] 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251