Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу F(P) n = l (54) 8.3Ло. Случай кратных корней. Случай, когда полином F (р) имеет кратные корни, приводит к более сложной формуле. Рассмотрим отношение двух полиномов F{.p) и предположим, что степень числителя меньше степени т знаменателя. Если знаменатель имеет кратные корни, то его можно записать в виде F {Р) = {Р- iP ~ 2) {Р~ {Р- afr. Тогда /(/>) . -4iy . Fip) (/- .Г (/- .Г- + 1 -а. (р-ап) (р-а )к ip-a.f--- ... + Р - а-ь г ft /(/>) V V <> x.ti (Z-ft) - Вычислим коэффищ1енты Лр A, .... A. Умножим (*) на (/7-а,) . Имеем -(= = Л,1+Л,2(/7-а,)+ ... +Лft (;;-aft) й + + (/7-а,) *Ф(/7), где функЩ1я Фр) сохраняет конечное значение при р - а. Поэтому fti- -P= ft Дифференщ1руя предыдущее выражение, получим тем же способом ft2 = d {p-ak)f{P) I dp P(p) Осуществляя дифференщ1рование J-1 раз, находим Отсюда вытекает формула, несколько отличающаяся от теоремы разложения; f(p) г- у /( 1- Zi FU 1 t - iiu-j+l I- (пи- Л! Отсюда i (55) k-t j-i 0-1)! Ld- F(p) Примечание. Ha практике всегда полезно проделать непосредственно предыдущее вычисление, а не применять формулу (55), так как она довольно сложна. Пример. Требуется найти оригинал для Р+1 . I В С , D . Умножим обе части на р-\-2 и подставим = - 2. Тогда = W Умножим обе части на (р-1). Тогда Aip-lf+B(p~l)+C + D. Если положить в предыдущем равенстве и равенствах, полученных его однократным и двукратным дифференцированием, р=1, то найдем С-1 Б 1 л- .~3 9 27 Отсюда искомый оригинал (?-1)4/+2) 27 [39 27 Преобразование некоторых употребительных функций 8.3.16. Оригиналы некоторых рациональных функдий. Мы уже получили формулу (14): Найдем оригинал функции -j- для случая, когда v - любое комплексное число, но с вещественной частью, большей чем - 1. Известно, что одно из определений эйлеровой функции второго рода (п. 7.4.1) -это r{\-\-l)=J e-xdx, R(v)> -1. о Положим x - pt. Тогда r(v-i- l)=jo J e-Ptp4dt. . С другой стороны, известно, что Л+1 J Г( (56} Формула (56) совпадает с формулой (14), если v равно целому числу я, так как Г(/г-}-1).=/г! Придадим ч значение 1/2. Тогда -\~ }- так как г(- = l/ir. Применим формулу (33) к равенству (56). Получаем f 1 r(v+l)(p+X)+i- (57) (58) Если положить в этом соотношении v = 0, то мы получим уже известную формулу (15): р-{-1 Если придать X значение -J, то -~rj Отделим вещественные части от мнимых: cos mtlJ- sin u)tZ] p + I Придадим X значение X - Jw. Тогда -r---e~teiK /7 + 0)2 (59) t. e. -f±±fC .-4C0S 0) 4-У Sin 0)0- Отсюда, приравняв вещественные и мнимые части, получаем 4.)4. 0)2 □ е~ cos o)f, □ e-sintof. (60) Если в формулах (59) заменить t на jt, применив формулу изменения масштаба (22), то shf □ р- \ р-1 sh 4>t □ ch Hit □ p2 0)2 - Отсюда
|