8.3.17. Изображения бесселевых функций целого порядка. Будем исходить из классического определения бесселевой функции первого рода (п - целое число) (п. 7.5.11):

; It

J (t)= 1У cos(ree -sin 6)d6

Изображение этой функции дается формулой преобразования Лапласа:

е-Р dt.

СО г

F{p) = -L j J ( й-г Sin 6) 0

о .-л

Проинтегрируем сначала по t:

gj inb-t sin B)-pt

p + J sin 6

0 - 2x .J p + J sivG

I dz --F

Положим ef = z, откуда dB - -j-, sin 6 = -

Если обозначить

через С окружность единичного радиуса с центром в начале координат, то интеграл принимает такой вил:

2 dz

z + 2pz - l

Интегрируемая функция имеет только один полюс, находящийся внутри окружности С, а именно

z=~p+Vp4.

Следовательно, интеграл равен удвоенному вычету относительно этого полюса:

Отсюда

F(p) = 2

l2 + p+Vp+l J:

(62)

Если в соотнощений (62) заменить t на jt. пользуясь формулой (22) изменения масштаба, и принять во внимание определение бесселевых функ-Щ1Й мнимого аргумента (п. 7.5.25), то

(63)

Далее мы увидим (п. 8.5.3), что формулы (62) и (63) имеют общий ха. рактер и применяются в случае, когда индекс/г-не целое число. Способом, подобным предыдущему, можно легко вывести формулу

e-/ (0D2

{lp+2 +fpr

Vpip+2)

Сейчас мы установим некоторые соотношения, полезные при изучении распространения электрических возмущений вдоль линии передач:

gbp-bVp~l .

(65) (66)

g-(b+a)t[(й а) - и + 2а у е-( + )</о [ф - a)Yt~\>- \ dt 3

jV е-<У<Р (+26, , t>p.. (67)

Рассмотрим функцию f(x) = x . Дадим х приращение й и

произведем разложение в ряд Тейлора:

./(л + Л) = л:- /х)+4- к/.Ш+-....

Вычислим последовательные производные f{x). Для этого положим z~x. Тогда

1 I г

Но, согласно свойствам бесселевых функций, мы имеем рекуррентное соотношение (п. 7.5.28)

Следовательно,

-Im(z) = ~I(z)+I,(z).

и-/()1 = - /1(г). Возвращаясь к переменной х. находим

x- lAx]=x~lJx.

Отсюда делается совершенно очевидной формула

Поэтому

1 г 1 -

fiX + h) = (X + h)~ f[(X + h)}y--x 2 л

п! 2

Если положить h-2bt x - t. а щ = 0, получим

Отсюда вытекает и формула (65). Если к выражению (*) применить теорему запаздывания (формула (34)), получим формулу (66). Заменим в (66) й на 8, а f на at. Тогда

КИМ, что -5- = jA, и Hp

Положим, что - = jA, И применим теорему смешения. Имеем

Положим

Отсюда

и мы имеем

Р-.к = 2а. р--а = 26. Р = аН-Й. а. = Ь-а,

-(1 Vip+2a) (p+2b)

Разделим правую часть (68) на р. Тогда

f е-( +> /о [ф - а) V2 j,2] at □

1 g-p- V(p+2a) (P+2&) P lA(p + 2 )(/? + 26)

> tx. (68)

t>v.. (69)

Умножив формулу (69) на 2a и сложив ее почленно с (68), получим искомую формулу (67).

8.3.18. Изображение Int. Продифференцируем формулу (56) по v. Тогда

1 йГ(11+1) ,1.1

7тг-+ -г(.+ 1)с:Пп.

т. е.

Г(+1)

(v+1)

dv , , 1

-4-ln -

Crin t.

(70)

Ho известно, что

r(v~Hi)=

Поэтому

Г(у+1)

(v+l)(v + 2)...(v + /6 + l)

In ft

m+l v + 2

Если придать м нулевое значение, то

г (v+1)

r(v + l)

= lira

=0 ft- -GoL

In ft--j--Y

*) Здесь - = 0,57721566490 ... - постоянная Эйлера.

Введя в это выражение изображение / (t), полученное из (63), находим