cos л:

/z(n = sinO-ji-p = F(/;). (73)

hit)= cos tZ}- = F{p). (74)

Поэтому, применяя последовательно к соотношениям (73) и (74) формулу (24), получим

W = - / 3 - i / = - i a,c,g р. (76,

Ci(0=-/rfxD-l/=-llnVFTr. (76) t о

Можно воспользоваться изображением 0(0 чтобы найти разложение этой функции в ряд. Имеем

1 М 11,11 i 1

Отсюда, так как

1±1М.с-1п,

и! р

получаем разложение C{{t):

. Ci(0 = ln + T-2+4?ir-6+ 8.3.20. Изображение функции ошибок. Рассмотрим интеграл

Заменив я на -, получаем

Подставив выражение (71) в равенство (70) и считая 1 ==0. получаем

,nO ill£±X. (72)

8.3.19. Изображение интегральных косинуса и синуса. По определению, имеем

... - , е dt =

со 2 со ГлГ~Т V

J dt.

x It t

Считая, что - = и, получаем dt = ---du. В силу соотношения (77), где приравниваем к ==; , получаем

F{p) = e-J-Y -\= = -е-.

xVp Vp

Поэтому

Проинтегрировав по х обе части от О до х, имеем

8.3.21. Изображение единичного импульса Рассмотрим единичную ступень r(OD~ и функцию времени, изображенную на рис. 8.10, а. Она

представляет собой прямоугольный импульс длиной в 6 с амплитудой

Площадь прямоугольника равна единице. Изображение рассматриваемой функции равно:

r(t)-r{t-6) l-eP р6 рЧ

-ё- -7ё-- -Г !-6--

Если 6 стремится к нулю, то в пределе функция времени представляет собой импульс (бесконечная амплитуда, действующая бесконечно малое время),

) Или единичного толчка.

Складываем оба эти выражения. Считая, что - и. получаем

о -со

и, следовательно,

Установив это, попробуем найти изображение функции Формула преобразования Лапласа дает

-pt--

но площадь прямоугольника остается все время равной единице. Предельная функция 1) называется единичным импульсом. Левая часть равенства (90) стремится к производной Г (t), а правая часть - к единице. Поэтому можно написать

r(OD 1-

Функцию 1с(t) иногда называют функцией Дирака b(t). Она обладает следующим важным свойством. Если f{t) - любая, функция, то

Рис. 8.10.

/(0= МГЧ-). ,<<v

(81)

На практике не существует явлений, следующих закону, описанному функцией Г(). Имеются лишь явления, описьшаемые функциями, равными нулю всюду, кроме промежутка очень малой длины 6, а в этом промежутке принимающими очень большие

значения -g-. Если пренебречь бесконечно

малыми первого порядка, то изображение такой функции будет равно А.

Рассмотрим теперь два последовательных прямоугольных импульса противоположного направления с продолжительностью 6

и амплитудой ~ (рис. 8.10,6 ). Эта функция времени и ее изображение будут иметь вид

г(о~2Г(~е)+г(-2б) ,

Если б стремится к нулю, мы получим в пределе два импульса 2), следующих друг за другом в течение бесконечно малого времени. Их можно рассматривать как вторую производную Г (ty.

Точно так же при 6 = 0 пределы функций, изображенных на рис. 8.10. в и 8.10,2, будут соответственно

и т. д.

Примечание. Введем в контур I находящейся в равновесии цепи электродвижущую силу, равную единичному импульсу Г {(). Этот импульс.

) Теория импульсной функции изложена в кн.: Б. в ан д ер Поль и X. Б р е м м е р. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа, 14Л, 1952 г. (гл. V).

2) Это не единичные импульсы, так как ограниченная ими площадь равна -g-,

а не 1.