Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 [ 169 ] 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

Рассмотрим сначала случай, когда -1 < v < 0. Функция много-

значна в плоскости р. и нетрудно заметить, что в интересующем нас случае контур Бромвича эквивалентен контуру С на рис. 7.12. При этом достаточно заменить z мг pt ъ формуле (10) п. 7.4.5, чтобы получить искомое выражение (56).

Здесь следует сделать одно существенное замечание. Функция

имеет в начале координат точку разветвления. Формулу (56) можно получить из теоремы обращения, если из всех ветвей функции ограничиться рассмотрением только первой ветви. Если выбрать вторую ветвь, то вместо правой части формулы (56) мы получим выражение

Г(л. + 1)

к многозначным функциям, имеющим точку разветвления, теорему обращения следует применять, пользуясь только первой ветвью, т. е. такой, для которой

- т: < arg р < -I- 1с.

Это замечание будет учтено в дальнейшем.

Рассмотрим теперь случай, когда v > 0. Достаточно приравнять v = A--[i, обозначив через k целое число, а через, р. такое число, чтобы

- 1<[Х<0.

Интегрируя по частям, получаем

c+joo c+joo

1 г ePdp t 1 Г ePdp

с-уоо с-/оо

и т. Д., повторяя k раз это интегрирование по частям, имеем

c+j оо c+j со

1 г еРdp 1 Г еР .

j c-joo Р ~~ ik + i){k + f.~l)...ip.+ l) 27СУ J p+

Отсюда и получается искомая формула (56).

Итак, мы нашли формулу (56), применяя теорему обращения в случае, когда V > - 1, т. е. при тех же условиях, что и применяя преобразование Лапласа. Было бы желательно распространить формулу (56) на случай, когда v< - 1. Действительно, если v - не целое отрицательное число, обе части формулы имеют смысл. Однако интегралы Лапласа и Меллина - Фурье не сходятся. Тем не менее можно применить интеграл, аналогичный интегралу Меллина - Фурье, пользуясь вместо контура Бромвича контуром, изображенным на рис. 7.12, что приведет к сходящемуся интегралу. Формула (10) п. 7.4.5 позволяет тогда написать, считая v = - р

1-1 г- 1

1Г(1-(Л)

но при соотношении

(р- - не целое положительное число), (85)

--= - f p-ePtdp.

41-(Jb) 27су /

Г(1 ) 2.}

Итак, мы обобщили формулу - (56) для всех значений v, пользуясь то контуром Бромвича, то контуром С, так как оба они эквивалентны



Применяем теорему обращения.

c+j оо JL ,2,

Особые точки подынтегральной функции - это

1) точка разветвления при р =0;

2) полюсы при значениях р, обращающих в нуль р

Мы должны провести разрез от О до -оо, чтобы сделать функцию однозначной в плоскости р.

Если придать р значение р, то мы будем

иметь два значения для р. Одно соответствует значению аргумента Pq, заключенному между - 1с и т:, второе - значению аргумента Pq, заключенному между -j-t: и -f Зт:.

Полюсы определяются значениями р, являю- Разрез

щимися корнями уравнения р -- 1 = О, т. е. такими значениями р, аргументы которых соответственно равны

2 , 2 Рис. 8.15.

Для первой ветви следует рассматривать только два первых значения. В случае второй ветви следует оставить только третье значение.

Мы уже видели, что при нахождении оригинала с помощью теоремы обращения следует оставлять только такое значение р, аргумент которого заключен между -т: и ic. Поэтому нам нужно исследовать только два полюса:

Р=4(-1 + у/з) и р = -1-(1-1-у/з).

Контур, эквивалентный контуру Бромвича, будет, следовательно, таким, как изображено на рис. 8.15, так как вклад бесконечной полуокружности, находящейся слева, равен нулю.

Н. V. Lowry, Operationalcalcuius, Phiios. Mag. (1932), 7 serie, t. 13.

В области - 1 < v < 0. Нужно заметить, что основное свойство операционного равенства заключается в том, что некоторые преобразования одной функции отражаются известным образом на другой функции, и наоборот. Переход от фуйкций t к функциям р и обратно не обязательно ограничивается формулами преобразования Лапласа - Карсона или Меллина - Фурье. Поясним это примером, так как развитие теории вышло бы за рамки настоящей книги. Контур, который можно свести к контуру С в случае, когда имеется только одна особая точка в начале координат, был предложен Лоури*). Этот контур соединяет -сю - уО. - ооЧ-уО и охватывает особые точки функции.

Пример. Требуется найти функцию h{t) - оригинал для



Легко заметить, что вклад малой окружности с центром в начале координат равен нулю. Действительно, положим, что р - ге. Тогда интеграл

grt (cos е+/ sin 6) / 2 g/e.

3 зе 2

стремится к нулю вместе с г. Поэтому искомый интеграл будет состоять из вычетов, относящихся к обоим полюсам, и интегралов вдоль верхнего и нижнего края разреза.

1. Вычеты. В полюсе р = (-1Ч-уУз) вычет равен

2 -(-l+з) :-3 е

Точно так же вычет в полюсе р - - у(+./Уз) равен -е Отсюда сумма вычетов равна

2 -iy+jV

2. Интеграл вдоль нижнего края разреза, если считать р = хе->, равен

Вдоль верхнего края разреза, если считать р - хе- , интеграл равен

1-ух2

Отсюда в сумме получаем

и в результате

2 Г е-х dx TzJ l + x

3 L 3 е

COS-t-t

I с е- iz .1 I

-л-/ 2

X dx

+ Х3

в случае численного вычисления может казаться интересным разложить последний интеграл в асимптотический ряд. Напищем для этого

1 + хЗ

l-x-f х-хН- ... +(-!)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 [ 169 ] 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251