Остается показать, что этот ряд асимптотичен, т. е. что /? стремится к нулю, когда п. постоянно, а t стремится к бесконечности. Имеем

б / -2

Значит, ряд действительно асимптотичен.

8.3.24. Обобщение теоремы разложения Хевисайда. Дана функция h (t)

изображение которой имеет вид . Функции /(р) и F(p) могут быть

любыми, но частное должно иметь лишь простые полюсы (конечное или бесконечное число). Другие особые точки отсутствуют. Итак,

иначе говоря,

C+J со с-joo

Рассмотрим ряд значений р, представляющих собой простые полюсыг

1- 2..... m

Функция h{t) равна сумме вычетов в этих полюсах при условии, что вклад бесконечной полуокружности, находящейся слева от прямой с абсциссой с, равен нулю. Эта сумма вычетов записывается, согласно формуле п. 1.3.12, в виде

(am) m=l

Последнее выражение представляет собой обобщение формулы (54), которая была справедлива только для отношения двух полиномов. Если изображение функции h(t) имеет вид

П(П -+ 2j a ,F{a ,)

Это обобщение формулы (51), называемой формулой разложения Хевисайда. Она применялась только к отношению двух полиномов f{p) и pF(p).

Если обратиться к определению факторнальной функции, данному в формуле (3) п. 7.4.1, и подставить (*) в искомый интеграл, то мы получим разложение в ряд, общий член которого равен

°° . 5

= (-1) --Ц- / e-(xt) ~dixt)=. C-l) ->-i-

fiit-V) при t>l.

при f <

Выражение eFp) представляет собой изображение функции времени, график которой представлен на рис. 8.8 (пунктир). Эта функция получается из h(t)T(t) сдвигом вдоль оси t на \.

Формула обращения (83) придает формуле (34) такой вид:

. g(t) = f ePV-)Fip)dp,

c-joo

Рис. 8.16.

h(t - V) при > X, при t <iX.

Пример. Найдем изображение функции g{t), равной sino)( - X) при / > X и нулю при <Х (рис. 8.16). Изображение sin равно 2 !2 3-на-

чит, искомое изображение равно

8.3.26. Изображения непериодических разрывных функций. Найдем, для примера, изображение функции g (t), которая равна нулю при - оо <

<t<\, sinw(f - X) при Х<г<Х4- ~

И снова равна нулю при X -- -- <

<Ct<+oo (рис. 8.17).

Синусоида ABCDEFG .... начинающаяся в момент t~/: имеет, как мы только что видели, своим изображением

Рис. 8.17.

Поэтому синусоида EFG своим изображением

начинающаяся в момент = X-f-

имеет

Функция gif), которая- представляет собой разность между обеими синусоидами, имеет изображение

р= + ш2

2к 1

Изображения разрывных функций. Приложения 8.3.25. Введение. Из формулы (34) следует .

Пример 1. Найдем изображение функции, представленной на рис. 8.18

утолщенной линией.

Изображение функции, представленной полупрямой Ох, равно

X р

Рассмотрим полупрямую Ах , проходящую через точку А с координатами (О, -£) и имеющую угловой коэффициент, равный по абсолютному значению згловому коэффициенту Ох, но противоположный ему по знаку. Изображение функции, представленной этой полупрямой, равно

р X р-

Полупрямая Вх параллельна Ах (рис. 8.18). Представленная ею функция имеет изображение

Р +1-L

X

E(t)

Искомую функцию gyf) можно получить сложением обеих функций представленных линиями - ооОх и - oqOFBx. Следовательно, изображение функции git) будет

- Г-

р L хр

Пример 2. Импульс, имеющий вид полупериода синусоиды ЕвтЫ, приложен в момент = О к цепи, состоящей из последовательно соединенных сопротивления и емкости (рис. 8.19). Требуется найти ток, текзацнй в момент времени

Изображение синусоиды, начинающейся в момент t

Рис. 8.18.

ift)

Рис. 8.19.

= 0, равно

о +

Изображе1 5е синзсоиды, начинающейся в момент -, равно Е--е *

Функция, представленная на рис. 8.19 утолщенной линией, будет иметь своим изображением сумму этих двух изображений. Следовательно,

1 +

= §(р).

Обобщенное сопротивление цепи равно

1 ,

Zip).

Тогда

.&(р)

= £,

\p + )(Rp + )