Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу Рис. 8.36.
Рис. 8.37.
Рис. 8.38.
Piic. 8.39. sin at. 0 <t < 0, -< < co sm {ai + ci), 0 < < < О, 2a < ? < со p2 + 2ft7t \ 1 (. (m cos a -f p sin a) Ур+l e P cos (x -\- arctg p) 1u Г [v 4- i] (2йУ /)-- /, {ар) Z(p) Lp + R + - Кроме того, v(i)==L3Lpg(p)=7(p). Мы имеем право написать это соотношение, так как г(0) -0. Отсюда 2L -Тс- Положим, что R достаточно мало, чтобы можно было пренебречь по сравнению с w. Тогда можно написать знаменате.пь в виде {p+-af+-uy, и корни его будут равны - а - /со, - й -f- /со. Найдем реакцию контура на некоторые внешние электроявижушие силы. 1. Электродвижущая сила E{t) равна £(, sin vT (). В этом случае . (Г) (,2 + 2) ц у. + 2J По.пгченное соотношение можно записать в виде J (Ш- v2)2 4д22 L р2 2 р2 ц 2 2ауЦр+а) . (o=(o)g -у2) + 2д=-;П (Р+Я)2 + <В2+ (р 4-)2+ 2 ! Отсюда, пользуясь элементарными соответствиями, непосредственно получаем W = -(Jr::r$$4 { 2 cos - V (со2 v2) sin + - 2avcoswt-\-----sinco Положим, что (й = v, т. е. частота электродвижущей силы равна частоте собственных колебаний контура. Тогда г;(0=-со8ш-cosco--sincof Еспи. кроме того, мы можем пренебречь а по сравнению с ш, то предыдущее выражение может быть написано в виде £>(/)= cos (0/(1 - е- )Г (/). 8.4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ЦЕПЯМ 8.4.1. Колебательные контуры. Рассмотрим колебательный контур /?, L. С. В этот контур в момент = 0 включают некую электродвижущую силу Е (t). Пусть ё (р) - изображение Е (t), а (р) - изображение тока i (t), идущего по контуру. Требуется найти напряжение на зажимах катушки. Это напряжение v(t) имеет изображением 7{р). Имеем Если R=0, а со V, то Y [ш sin tot - V sin v] Г (t). 2. Электродвижущая сила равна единичной ступени: £ () = EqT (), тогда Пренебрегая по сравнению с со, получаем (Р + + ~ (Р + + 2 Отсюда непосредственно имеем cos lot--sinu) Г (О и, пренебрегая а по сравнению с ш, получаем г; (О = £0-cos ЫГ(1). 3. Электродвижущая сила приложена в течение очень короткого времени 8. В этом случае S (/?)=: 8;f. С тем же приближением, что и раньше, получаем 2а (р + а) . {р + а) + а ip-{-a)-{-aj 2a COS iot-- sincu .v(t)Z]Eabt Отсюда непосредственно имеем . v(t) = EQU\r(t)- e-i и с теми же упрощающими предположениями V (t) = Eq It [Г {t) + шГ (О sin ш]. 8.4.2. Пример применения к системе двух связанных контуров. Применив к простому колебательному контуру методы операционного исчисления и получив таким образом известные результаты (которые, впрочем, легко найти и другим способом), мы рассмотрим один пример. Покажем, что применение к решению этого примера классических методов приводит к гораздо более сложным вычислениям, чем применение операционного исчисления, где расчеты делаются почти автоматически, так как различные граничные условия оказываются с самого начала включенными в вычисления. Дана цепь, изображенная на рис. 8.40. Пзсть E(J:) - электродвижущая сила источника, внутреннее сопротивление которого равно нулю, приложенная в момент = 0. Мы хотим найти ток 2(0 текущий в ветви АВ этой цепи. Дифференциальные уравнения системы имеют вид Т1 d+-if hclt~L = Eit), Рис. 8.40.
|