Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 [ 175 ] 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251


Рис. 8.36.

r\ л t

0 \

f Zhn

Рис. 8.37.

sin г.

0</<t

x < / < co

Рис. 8.38.

7TV

Piic. 8.39.

sin at. 0 <t <

0, -< < co

sm {ai + ci), 0 < < <

О, 2a < ? < со

p2 +

2ft7t \

1 (.

(m cos a -f p sin a)

Ур+l

e P cos (x -\- arctg p)

1u Г [v 4- i] (2йУ /)-- /, {ар)



Z(p) Lp + R + -

Кроме того,

v(i)==L3Lpg(p)=7(p). Мы имеем право написать это соотношение, так как г(0) -0. Отсюда

2L -Тс-

Положим, что R достаточно мало, чтобы можно было пренебречь по сравнению с w. Тогда можно написать знаменате.пь в виде {p+-af+-uy, и корни его будут равны

- а - /со, - й -f- /со.

Найдем реакцию контура на некоторые внешние электроявижушие силы. 1. Электродвижущая сила E{t) равна £(, sin vT (). В этом случае

. (Г) (,2 + 2) ц у. + 2J

По.пгченное соотношение можно записать в виде

J (Ш- v2)2 4д22 L р2 2 р2 ц 2

2ауЦр+а) . (o=(o)g -у2) + 2д=-;П

(Р+Я)2 + <В2+ (р 4-)2+ 2 !

Отсюда, пользуясь элементарными соответствиями, непосредственно получаем

W = -(Jr::r$$4 { 2 cos - V (со2 v2) sin +

- 2avcoswt-\-----sinco

Положим, что (й = v, т. е. частота электродвижущей силы равна частоте собственных колебаний контура. Тогда

г;(0=-со8ш-cosco--sincof

Еспи. кроме того, мы можем пренебречь а по сравнению с ш, то предыдущее выражение может быть написано в виде

£>(/)= cos (0/(1 - е- )Г (/).

8.4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ЦЕПЯМ

8.4.1. Колебательные контуры. Рассмотрим колебательный контур /?, L. С. В этот контур в момент = 0 включают некую электродвижущую силу Е (t). Пусть ё (р) - изображение Е (t), а (р) - изображение тока i (t), идущего по контуру. Требуется найти напряжение на зажимах катушки. Это напряжение v(t) имеет изображением 7{р).

Имеем



Если R=0, а со V, то

Y [ш sin tot - V sin v] Г (t).

2. Электродвижущая сила равна единичной ступени: £ () = EqT (), тогда

Пренебрегая по сравнению с со, получаем

(Р + + ~ (Р + + 2 Отсюда непосредственно имеем

cos lot--sinu)

Г (О

и, пренебрегая а по сравнению с ш, получаем

г; (О = £0-cos ЫГ(1).

3. Электродвижущая сила приложена в течение очень короткого времени 8. В этом случае S (/?)=: 8;f. С тем же приближением, что и раньше, получаем

2а (р + а) .

{р + а) + а ip-{-a)-{-aj

2a COS iot--

sincu

.v(t)Z]Eabt

Отсюда непосредственно имеем

. v(t) = EQU\r(t)- e-i

и с теми же упрощающими предположениями

V (t) = Eq It [Г {t) + шГ (О sin ш].

8.4.2. Пример применения к системе двух связанных контуров. Применив к простому колебательному контуру методы операционного исчисления и получив таким образом известные результаты (которые, впрочем, легко найти и другим способом), мы рассмотрим один пример. Покажем, что применение к решению этого примера классических методов приводит к гораздо более сложным вычислениям, чем применение операционного исчисления, где расчеты делаются почти автоматически, так как различные граничные условия оказываются с самого начала включенными в вычисления.

Дана цепь, изображенная на рис. 8.40. Пзсть E(J:) - электродвижущая сила источника, внутреннее сопротивление которого равно нулю, приложенная в момент = 0. Мы хотим найти ток 2(0 текущий в ветви АВ этой цепи. Дифференциальные уравнения системы имеют вид

Т1 d+-if hclt~L = Eit),


Рис. 8.40.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 [ 175 ] 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251