Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу Пусть ffi(p), 02Р) (Р) - соответственно изображения ii(t), iit) и £(0- Тогда система дифференциальных уравнений может быть записана при помощи формулы (30) (так как - i{(d) = Q) и формулы (31) в виде Отсюда V Ср Рис. 8.41. Вычислим ijCO ДЛЯ спучая, когда электродвижущая сила E(t) имеет форму импульса, изображенного на рис. 8.41: В этом спучае e-i . Р Р Ток i{t) представляет тогда собой сумму двух токов: Следовательно, il{t) = ~i{t - z)Y{t - z). Так как LCp + \ £оС о 2Z,Cp2-{-3 2 2ЕСр + Ъ то получаем 4(0 =-Г(0- / /зШ)- Вычертим график /(О Для спучая, когда ширина z импульса равна y-lir- Тогда Отсюда получаем график, изображенный на рис. 8.42, если считать Рассмотрим случай, когда т: = 2ic / - = Тогда в формуле, дающей t2{t) синус исчезает при >-с, так как выражение для i2(t) принимает 546 вид i и мы получаем график, изображенный на рис. 8.43. Рис. 8.43. Рис. 8.44. ЕС ЕС Величины --Г(/) и ~-~-I(t - т) представляют собой зарядный и разрядный ток емкостей. Возьмем теперь случай, немного более сложный, когда E(t) имеет график, изображенный на рис. 8.44. Вычислим изображение этой функции. Имеем £(0 = t - 2z Отсюда Как и ранее. СЕр jzp - 1) (LCp + 1) СЕр 1 p(2LCp + 3) Z СЕ, (тр+1)(1Ср2+1) 2 2W J p(2Z.Cp2 l-3) - \2 Зр 2LCp + 3 2LCp + 3j Отсюда 1 3p~ 2LCp-\-3 . 2LCp + 3J g-2pT Ut): CE6 2 ir(t)~r(t~2z)]. [Г(т)-Г(-2т)] rCOcos / r(-2t)cos /( 2т) Если взять положив со (2 (О = 1Г (О - Г (t - 2z)] f- [Г (О - Г - 2z)] - со5со[Г(0-r(f- . 2т:)] I sin [Г (О + Г (t - 2т:)]. График тока ijCO изображен на рис. 8.45. Примечание. Вычисления в пп. 8.4.1 и 8.4.2 бы.пи выполнены с помощью разложения рациональных дробей на простейшие, а не с помощью формулы обращения. Дело в том, что рациональные дроби р 2 8-4-1) и (п. 8.4.2) не удовлетворяют условиям Жордана (показатели степеней числите.пя и знаменателя равны). Применение к этим дробям формулы обращения приве.по бы к неверному резу.пьтату, так как интеграл по бесконечной по.пуокружности, расположенной слева от контура Бромвича, не равен в этом случае нулю. 8.4.3. Случай, когда цепь не находится в равновесии в начальный момент времени. Имеются спучаи, когда полезно было бы рассмотреть электрическую цепь, не находящуюся в равновесии при < О, и, в частности, предположить, что заряды емкостей не равны нулю в момент = 0. Приведем очень простой пример, который покажет, каким образом поступать в этом случае. Дана емкость с зарядом Q. Ее подк.пючают в момент = 0 к зажимам катушки L. Дифференциальное уравнение системы имеет- вид -оо Рис. 8.45. Найдем изменение заряда q(t) на емкости во времени. Имеем . Пусть й(р)-зуется к виду -изображение q(t). Тогда предыдущее уравнение преобра- L [рЧ ip) - pq(0) - q (0)] -{-- @ (р) = О Здесь вместо формулы (30) использована формула (28), потому что теперь цепь не находится в равновесии в момент = 0. Имеем q{Q) = Q и 9(0) = /(0) =г0. Отсюда pQ
|