Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 [ 176 ] 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

Пусть ffi(p), 02Р) (Р) - соответственно изображения ii(t), iit) и £(0- Тогда система дифференциальных уравнений может быть записана при помощи формулы (30) (так как - i{(d) = Q) и формулы (31)

в виде

Отсюда

V Ср

Рис. 8.41.

Вычислим ijCO ДЛЯ спучая, когда электродвижущая сила E(t) имеет форму импульса, изображенного на рис. 8.41:

В этом спучае

e-i .

Р Р

Ток i{t) представляет тогда собой сумму двух токов:


Следовательно,

il{t) = ~i{t - z)Y{t - z).

Так как

LCp + \ £оС о 2Z,Cp2-{-3 2

2ЕСр + Ъ

то получаем

4(0 =-Г(0- / /зШ)-

Вычертим график /(О Для спучая, когда ширина z импульса равна y-lir- Тогда

Отсюда получаем график, изображенный на рис. 8.42, если считать

Рассмотрим случай, когда т: = 2ic / - = Тогда в формуле, дающей t2{t) синус исчезает при >-с, так как выражение для i2(t) принимает



546 вид i

и мы получаем график, изображенный на рис. 8.43.



Рис. 8.43.

Рис. 8.44.

ЕС ЕС

Величины --Г(/) и ~-~-I(t - т) представляют собой зарядный и

разрядный ток емкостей.

Возьмем теперь случай, немного более сложный, когда E(t) имеет график, изображенный на рис. 8.44. Вычислим изображение этой функции. Имеем

£(0 =

t - 2z

Отсюда

Как и ранее.

СЕр jzp - 1) (LCp + 1) СЕр 1 p(2LCp + 3) Z

СЕ, (тр+1)(1Ср2+1) 2

2W J p(2Z.Cp2 l-3) -

\2 Зр 2LCp + 3 2LCp + 3j

Отсюда

1 3p~ 2LCp-\-3 . 2LCp + 3J

g-2pT

Ut):

CE6 2

ir(t)~r(t~2z)].

[Г(т)-Г(-2т)]

rCOcos / r(-2t)cos /( 2т)



Если взять

положив со

(2 (О = 1Г (О - Г (t - 2z)] f- [Г (О - Г - 2z)] -

со5со[Г(0-r(f-

. 2т:)] I sin [Г (О + Г (t - 2т:)].

График тока ijCO изображен на рис. 8.45.

Примечание. Вычисления в пп. 8.4.1 и 8.4.2 бы.пи выполнены с помощью разложения рациональных дробей на простейшие, а не с помощью формулы обращения. Дело в том,

что рациональные дроби р 2

8-4-1) и (п. 8.4.2) не

удовлетворяют условиям Жордана (показатели степеней числите.пя и знаменателя равны). Применение к этим дробям формулы обращения приве.по бы к неверному резу.пьтату, так как интеграл по бесконечной по.пуокружности, расположенной слева от контура Бромвича, не равен в этом случае нулю.

8.4.3. Случай, когда цепь не находится в равновесии в начальный момент времени. Имеются спучаи, когда полезно было бы рассмотреть электрическую цепь, не находящуюся в равновесии при < О, и, в частности, предположить, что заряды емкостей

не равны нулю в момент = 0. Приведем очень простой пример, который покажет, каким образом поступать в этом случае.

Дана емкость с зарядом Q. Ее подк.пючают в момент = 0 к зажимам катушки L. Дифференциальное уравнение системы имеет- вид


-оо Рис. 8.45.

Найдем изменение заряда q(t) на емкости во времени. Имеем

. Пусть й(р)-зуется к виду

-изображение q(t). Тогда предыдущее уравнение преобра-

L [рЧ ip) - pq(0) - q (0)] -{-- @ (р) = О

Здесь вместо формулы (30) использована формула (28), потому что теперь цепь не находится в равновесии в момент = 0. Имеем q{Q) = Q и 9(0) = /(0) =г0. Отсюда

pQ



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 [ 176 ] 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251