L Y Ра 4-1

Предположим, что M{s) можно разложить по возрастающим степеням s: 2(s) = o + V + 25+ -

Имеем

Отсюда

, со

() = f S rrn+rn [-) n=0

Этот способ имеет общий характер, и им можно пользоваться всегда при разложении в ряд бесселевых функций, изображение которых-функция р- имеет множителем

(C2p2 ,2) 2

Положим, что в нащем примере Е (t) = eJ , тогда

. S(p) =-~ и 2г(з)-,--г.

р - ja> 1 - 2asju> - s

Разложение в ряд по возрастающим степеням s будет иметь вид

2 (S) = 2fls [ 1 + 2 jaws -f- (1 - 4с2ш2) s + 2 jaw (2 - 4аш) s +

+ (1 - 1 2c2<u2 4- 1 бс%4) s4 2 у CO) (3 - 16c2a)2 -f- 1 бс) 5 , . , ],

Отделив вещественную часть от мнимой, получим

(О = 2 /j- () + (1 - 4 < ) () +

+ (1 - 12а2ш2 4- 1 ба4ш4) {у) +

+ 4У а- [л.+2 (:) + (2 - 4а2со2) 4,

+(3-16а2ш24-16а4ш4)7, .,е( )+ ..

Вещественная и мнимая части представляют собой реакции, соответствующие E(t)=cos(i)t и E(t) = sinwt.

8.4.6. Фильтр верхних частот. Рассмотрим электрический фильтр,

схематически изображенный на рис. 8.49. Легко заметить, что частоты выще

1 . .

= 2VTC Р з.атухания.

Эта формула неудобна для вычислений. Найдем другое выражение для iit). Положим в формуле (93) Ypa-\-l-pc = s, откуда

1 -s=

Если сделать в $(р) подстановку, то получим функцию s. Пусть этой функцией будет 71 (s). Тогда формула (93) принимает вид

Формула (90) дает

2V LC

Приложим в начальный момент времени электродвижущую силу, равную

Рис. 8.49.

Рис. 8.50.

единичной ступени. Тогда

применяя формулы (62), (22) и (45), получаем

1г,г (О = ]/х f (2 VW) {-) dz.

(94)

8.4.7, Фильтр нижних частот без искажений. Рассмотрим фильтрующую цепь, схематически изображенную на рис. 8.50. Имеем в этом случае

a = -Y{Lp+R){Cp + G). a = --.

Фильтр нижних частот без искажений определяется условием

R G

i-p + R

Cp + G

. Имеем .

Zn = 0, Z, = , Zn = pL, а =-\ .

° рС 2р}ГРС

Приложим в начальный момент времени электродвижущую силу, равную единичной ступени. Ток в т-ш звене определяется из формулы (90), в которой Zq, Zj, Zg и а заменены приведенными выще значениями:

Имеем

р Ya4P + bY+l[aip+b) + Y а (р + 6)= +1) 2

-2-(т)VT YW+~i[ар+YW

Пользуясь теоремой смещения, найдем Отсюда

Ya4p+ ЬУ +1 [й (р+ &) + Ай2 (р ьу + 1]2

<

р YaHP+bУ + \{a{p + b) + YaЧPЛ-bУ + \f

Следовательно,

( =/?/Л.(4.).(А).

(95>

Мы получили формулу, подобную полученной раньше для фильтра нижних частот без потерь, но содержащую экспоненциальный множитель.

8.4.8. Усилители. Отрицательная обратная связь. Критерий Найквиста. Рассмотрим усилитель А (рис. 8.51). Пусть х (t) и у (О -напря.же-ния на входе и выходе. При установившемся синусоидальном режиме между этими напряжениями имеется соотношение

y{t)x{t)A{jw).

Л С/со)-это комплексный коэффициент усиления, определяющий одновременно изменение и амплитуды, и фазы. Если теперь x{t) и y{t) означают любые функции времени, а не только синусоидальные, то

г: хгу

Рис. 8.51.

s/(P)[iy(t). £ir(p)[Zx{ty

Соединим вход и выход усилителя посредством э.темента у (часто это бывает аттенюатор). Если у(Уси) представляет собой коэффициент ослабления в синусоидальном режиме и если на входе усилителя выявить разность между X и уу, то

.2/ (р) = А (р) (р) - т (Р) 2/ (Р)].

Отсюда

£1Г(р)А(р)

1 + {р)А(р)