Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу и ABCD отделяться от обоих прямоугольников очень узким промежутком (охранным кольцом). Найдем емкость конденсатора, образованного указанными прямоугольниками. Рис. 1.39. Заряд одного прямоугольника равен arch Q2Zeln(-J+/fl-l). Потенциал одной полуплоскости соответствует К = О, потенциал другой - У = Tz. Следовательно, искомая емкость равна ) Вернемся к рис. 1.3.8 и примем К=. Гиперболический цилиндр сведется в этом случае к плоскости, перпендикулярной прямой FF. Следовательно, рис. 1.38 представляет также силовые линии и линии уровня системы, образованной плоскостью и перпендикулярной ей полуплоскостью, разделенными разрезом шириной в d. 1.4.2. Несколько примеров конформных отображений. Конформные отображения определяются функцией z = f(Z), где 2 = JC +/у = р (cos ср+у sin ср), Z = A + 7T = P(cos® + /sin®). Будем, изображать кривые X {х, у) = const и У{х, у) = const в плоскости z. Эти кривые соответствуют прямым X = const и К = const в плоскости Z. а) Преоб разование Z = kz {кип вещественны). Имеем X jY - ~ Реф = p ew, откуда X = kp cos ср, У-kp sin rif Полная плоскость Z преобразуется в угол ,2 V-2 x2+-y2,.j ср == arctg . 2 плоскости Z. Будем трак- товать У как потенциальную функцию. Нулевой потенциал получается при двух значениях ср = 0 и ср = -. Рассмотрим наэлектризованный двугранный угол 6. В нем существует электрическое поле, силовые и эквипотенциальные линии которого задаются в полярных координатах равенствами: X = kp cos ср j. X - const; К=йр sinycpj, K = const. Плотность электрического заряда в точке на грани, отстоящей от вершины двугранного угла на расстоянии р, будет равна Г dX <p=0 б) Преобразевание Z = kz. Это частный случай- примера а) при п - 2. Полная плоскость Z преобразуется в верхнюю полуплоскость плоскости z. Нетрудно найти силовые и эквипотенциальные линии наэлектризованного прямого двугранного угла. Эти линии задаются в декартовых координатах соотношениями X =k{x~y), V = 2kxy и представляют собой два семейства равносторонних ортогональных гипербол. Они изображены на рис. 1.40 для X - -1, К=1 {k=l). Плотность электрического заряда в даннок случае равна с = 2йер. в) Преобразование Z = kz4. Это тоже частный случай примера а), здесь re = V2-
Рис. 1.40. Верхняя полуплоскость плоскости Z преобразуется в полную плоскость z. Кривые, конформные отображения которых параллельны осям ОХ и ОК. легко записываются в прямоугольных координатах плоскости- z: ky Y - 4Y k Это семейства софокусных парабол с фокусом О. Они изображены на рис. 1.41 для Х = й, Y-1 {k==l). Таким способом мы получаем силовые и эквипотенциальные линии поля, вызванного наэлектризованным параболическим цилиндром. Рассмотрим параболу семейства, вырождающуюся в прямую Ох. Мы получаем при этом такое же распределение электрического заряда, как в случае заряженной полуплоскости. Плотность заряда определяется равенством с = -. т) Преобразование Z = -. Это отображение осуществляет аналитическую инверсию, т. е. сводится к выполнению двух последовательных операций - геометрической инверсии относительно круга радиуса Yk п симметрии относительно вещественной оси. Легко получить оба ортогональных семейства, конформные отображения которых параллельны осям ОХ и 0Y. Это Рис. 1.42. окружности, касающиеся осей в начале Рис. 1.43. координат. На рис. 1.42 они изображены при /г=1. Уравнения этих семейств имеют вид д) Преобразование- Z = e. Имеем есоьуХ, esiny = K.
|