E(t) г(рщ

дх dt

Функции Е а i следовало бы писать в виде E(t, х), i(t, х), а электродвижущую силу, приложенную к началу, в виде E(t, 0). Для упрощения записи переменные х а t подразумеваются.

Если исключить функцию i из уравнений (96) и (97), получаем уравнение в частных производных, определяющее функцию Е:

=.LC + (RC + LG) + RGE. (98)

Оно называется телеграфным уравнением.

Пусть $(р) и g {р) - такие функции, что

Ъ{р)Е.(1\

Эти две новые функции р и х определяются следующей системой уравнений, полученной из уравнений (96) и (97) с помощью преобразования Лапласа:

- {Lp + R)g, (99)

=-(Cp + G)S. (100)

dx dS

Распространение электрических возмущений вдоль линий передач

8.4.10. Общие соображения. Дана однородная электрическая линия передач длиной I. На одном конце приложена электродвижущая сила СО-Другой конец замкнут на обобщенное сопротивление Z{p). Обозначим через L, С, R соответственнно коэффициент самоиндукции, емкость и сопротивление единицы длины этой линии. Изоляция линии несовёрщенна, поэтому через G обозначим величину,

обратную сопротивлению изоля--- +--

ции на единицу длины (проводимость ИЗО4ЯЯЦИИ).

Рассмотрим точку с абсциссой x (начало координат совме- Рис. 8.56. щено с началом линии) и обозначим через E(t) разность потенциалов между этой точкой и землей, а через i(t) - ток, идущий в этой точке (рис. 8.56).

Изменение напряжения при перемещении на единицу длины равно

сумме изменения напряжения - L, создаваемого самоиндукцией, и омического падения напряжения -Ri. Отсюда

Изменение тока при перемещении на единицу длины равно сумме

тока утечки через емкость--и тока утечки через изоляцию -GE. Отсюда

= - C - GE. (97)

Эта система уравнений приводит к

ЛЩ = 0 (101)

-Х2=0. (102)

если считать, что

X2 = (Cjt7+G)(Lp-i-/?). (103)

Решение уравнения (101) получается сразу. Имеем

Ъ{р) = Ае-+Ве-, . . (104)

Тогда уравнение (99) дает

Постоянные А к В определяются граничными условиями. Если считать

ёо(/)[1о(0.

то при X = О имеем

Л-НВ==$о(р).

а при x =1 Отсюда

Ae + Be-Zip) (В.-Л.).

Если считать

T=z(,)/f+:. (106)

то для определения А а В имеем два уравнения:

Л + В = ёо(Р). (107)

Л(7Н-1)е -=В(т-1)е- . (108)

Отсюда

b(p) = feo(/)-2(7chXZ + shXO-

S(/)-io(P)--%?,+ f,L->. , (109)

В этой формуле и

X = YiCp + G){Lp+R).

Функция g (р) равна

Дальнейшее вычисление состоит в нахождении таких функций l(t) и t[t), чтобы

mzigiP),

EiOZl&ip).

Эта задача представляет в общем случае незначительный интерес, так как приводит к крайне сложным расчетам. Перед тем как рассмотреть несколько простых частных случаев, сделаем замечание общего порядка.

Положим, что в наиболее общем случае мы нащли напряжение и ток в любой точке линии передачи, приложив к началу линии электродвижущую силу, равную единичной ступени. Пусть

- токи и напряжения при Eit) = Т (t) Zl- Положим теперь, что в начале линии приложена любая электродвижущая сила

£o(ODSo(P)-

Мы можем написать формулы (109) и (110) в упрощенном виде

&(p) = &o(P)Лi{p), giP) = hiP)N{p).

В случае электродвижущей силы, равной единичной ступени, имеем

ЪЛР)=М{р).

Отсюда

.i(/) = yA(p)-

g(p) = pg (p)g,(j3). g{p) = p${p)g,{p).

Применяя теорему свертывания и формулу дифференцирования, получаем t t

или, дифференцируя,

E (0 = £o (0) Ei (0 + / 4 C-) Ex {t - t) Jt,

E (t) = Eo (0) El (0 H- J Eo (t - t) £i (t) dz,

(111),

Eit)=Ei(0)Eo(t) + f Eo(z)Ei{t - z)dz,

£(0 = ei(0)£o(OH-/ Eoit - z)E[(z)dz,