Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 [ 181 ] 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

(Ill)

&iP) = &oiP)e-P-.

Оригинал этого изображения представляет собой функцию Eit), равную нулю при f < л: ]/LC и равную - л: AlC) при f > л: ]/LC

Волна напряжения, приложенная в начале линии, перемешается без искажения со скоростью V - Ток равен напряжению, умноженному

iit)y-Eo{t~xYlJC), t>xYLC.

(114)

i{t) = Eo{G)ii (f) + / £o (t) h {t t) ,

i (t) = Eo (0) /1 (t) + f Edit - t) ii (t) Jt,

I it) = /1 (0) £o (0 + / £0 () h (t - ) dx,

i (t) = Ji (0)Eo it) -\-fEoit - z) il (t) dz.

Как и следовало ожидать, мы снова находим формулы, полученные непосредственно из соотношений (1), (6).

8.4.11. Бесконечная или замкнутая на волновое сопротивление линия.

Замкнем конец линии на обобщенное сопротивление, равное Zip) - волновому сопротивлению линии

Тогда, согласноформуле (106);

Y = i.

уравнение (108) дает в этом случае А -О, а уравнение (107) дает

Функции i ip) и g ip) принимают вид

gip)$fip)e-<P+ncp+G) (112)

giP) = &oiP) ]/ -gie-vap+iJiccp.-o,. (113)

Это как раз и есть случай бесконечной линии: на конце, замкнутом на обобщенное сопротивление Z, нет отражения. Действительно, выражение (104) показывает, что если абсцисса х бесконечно возрастает, то для того, чтобы E>ip) сохраняла физический смысл, нужно, чтобы постоянная А была равна нулю.

8.4.12. Линия без потерь. В этом случае R = G - 0. Тогда формула (112) принимает вид



Отсюда

(>-=l/-rSo(/.)- -l{f)=Y-e-iEoii - xYIC) при i>xYIC.

l{t) = 0 при г < x /LC.

(116)

8.4.14. Подземный кабель. В подземном кабеле емкость велика по отношению к самоиндукции, а изоляция превосходна. Поэтому положим Z. = G = 0. Приложим к началу линии электродвижущую силу, равную единичной ступени. Тогда формула (112) дает

$(р)1-е-рУ.

Из (79) получаем непосредственно

Е(П=1~Ф[). (117)

Формула (ИЗ) дает выражение для g {р): а формула (78) - выражение для i{t):

mVjWt . - . . (118)

Выражения для £(0 и t{t) показывают, что напряжение и ток в каждой точке кабеля возникают в момент t=Q. В действительности же, если при вычислении функций Eat можно пренебречь L, то пренебречь этой величиной, рассматривая скорость распространения, нельзя.

Скорость распространения фронта волны конечна, так как самоиндукция линии не равна точно нулю.

8.4.13. Линия без искажений. Такая линия определяется условием

Уравнение (112) дает в этом случае

g {р) = $0 {р) е- Р+-)X Ус \

иначе говоря, - ,

g (jrj) (jr,) е-р ia:c g- У1с.

Согласно вычислениям предыдущего пункта,

1 г- (115)

[£(0 = 0 при t<xYLC.

Волна сохраняет форму, но распространяется с экспоненциальным ослаблением при скорости V - . Формула (113) дает



8.4.15. Линия С идеальной изоляцией. Предположим, что электродвижущая сила Eii) приложена к началу и равна единичной ступени Г().

Тогда, если G=0, -j - o- oiP) = - > формула (113) дает

giP)

-( g-xVLCVp{p+2a)

V {р + 2а)р

а формула (68) -

иначе говоря.

m=V е L*jiYt-xLC] при t>xVLC,

(119)

./(0 = 0 Из соотношения (100) получаем

при < X YlC.

dff dx

откуда

, 1 1 dsr(p)

Р)- с р dx

Для дифференцирования разрывной функции i{t) запишем ее в виде

Цt)=-e-Ч,[-Y-t-=ШcY{t-xYШ),

т. е. объединяем в одной формуле два выражения для i{t). Выполняя дифференцирование, получаем

(--]

Yt - xLC

{t - xYL)dt +

+ fe I[jYt - x4cY{t - xYLC)dt.

Наличие Г - х /iC) в первом интеграле позволяет исключить эту функцию при условии замены нижнего предела интегрирования на х YC. Кроме того, согласно (81),

J f (О Г (t - to dt = f (t{), to<t,< t и

и второй интеграл заменяется на

потому ЧТО Уо(0)== 1.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 [ 181 ] 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251