566 где

cos адте <<-ч dl =

to sin vst - a COS u>t

Экспоненциальная часть последней формулы, подставленная в функцию E{t), дает при замене а ее значением выражение переходной составляющей

Точно так же составляющая, соответствующая установившемуся режиму, будет

т-кх

Е (t) = cos isit

sin-

:ЧRC + mк I

При л: = / мы опять находим E {t)=: cos wt, т. е. возбуждение, приложенное ко входу линии.

8.4.19. Линия конечной длины без потерь, замкнутая на сопротивление. Пусть этим сопротивлением будет р. Основные формулы (123), (125). (126) преобразуются в предположении G~R = 0 к виду

е , . g, , . 7 cVi Кл: -f- sli Кл: i(/)=io(/)\ehX/TshX/-

Последнее равенство, если положить

можно написать в виде

;(р)=$о(р).

-рИ-х) Vic g-p(l+x)VIC

Если подставить сюда 1

- 1+ Ье- ... +

л-р[(2л+1)г-лгГ£С g + l p[f2n + l) +j:TiC

S(/>) = So(/)

-л=0 n=0

Но известно, что

ioiP)e- CEo(t~s), t>s. Принимая во внимание это соотношение, получаем решение

£(0=2 Slo {t - [(2й +l)l~x\ УЩ - S£o it - l(2ft -I- 1) / + YC)].

Мы обозначили через N наибольшее из целых чисел п, при которых величины

t - 1{2п + 1) / - л:] /ZC = - 6 + л; УТС,

. - [(2,г-+ 1) / + л:]/ZC = f - 6 - л: уТС

положительны. Если при n=:N первое выражение положительно, а второе отрицательно, то второе суммирование может быть сделано только до Л-1.

Полная картина распределения напряжений на линии складывается из суммы N элементарных волн. Каждая из них состоит из двух волн (с точностью до коэффициента Ь ):

E,{t-~d + xYLC).

- bEo{t - B~xYLC).

Первая соответствует волне, перемешаюшейся слева направо (заставляя х расти, мы пойдем ей навстречу) (см. рис. 8.57). Вторая соответствует волне, перемешаюшейся справа налево (уменьшая х, мы пойдем ей навстречу) и отразившейся на один раз больше, чем первая, от конца В.

Рассмотрим последнюю из этих пар волн (п = N). Если t - 6 - х YlC отрицательно-, то вторая волна не успела достигнуть точки с абсциссой -х. Коэффициент отражения конца линии В равен

Если р - у то 7 равняется единице, а 8 - нулю. Тогда перед нами случай бесконечной линии, и решение сводится к первому члену ряда

E,[t~il-x)YLC]-

Если р < у- то 8 положительна, и отражение происходит с переменой знака. Это, например, случай закороченной линии.

Если р > /-. то 8 отрицательна, и отражение происходит без перемены знака. Это, например, случай разомкнутой линии.

Примечание. Можно было бы легко увеличить количество примеров распространения электрических возмущений вдоль линии передач. Небольшое число рассмотренных задач дает основные приемы, которые операционное исчисление предоставляет в распоряжение инже- 7 / >

неров. Самые сложные случаи могут быть легко ллллл

сведены к случаю линии конечной (формулы 1 *VW v f ~

(109), (ПО), (123) и (124)) или бесконечной (формулы (112) и (ИЗ)) длины. SCp)

Приведем два существенных примера. 1

8.4.20. Сопротивление, сосредоточенное --*----

в начале линии. Пусть $g(p) - изображение Рис-. 8.58;

входного напряжения и пусть Zq(p) - обобщенное сопротивление, находящееся между точкой приложения этого напряжения и началом линии (рис. 8.58). Изображение начального напряжения равно

Если считать, что

(2)0

V С:

>ЛР)

2р + 2 Та ch l-ih + sh Xa/g 2p + G2 72 sh Л2/2 + ch Х2/2

При этом линия / замкнута на обобщенное сопротивление

7 ( \ (-2)0 Z

Формулы (123) и (124) дадут ii(p) и ffi(p) в каждой точке с абсциссой находящейся между Zj и 0. Напряжение &i(p) в точке с абсциссой О будет равно напряжению в начале линии 2. Формулы (109) и (ПО) дадут тогда $2(-Р) ffiiP) в каждой точке с абсциссой лгд, находящейся междуО и Zg.

Если повреждение характеризуется обобщенным сопротивлением Z {р), подключенным последовательно, то в этом случае мы будем иметь

Zi(p) = (Z2)o + Z.

8.5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 8.5.1. Применение операционного исчисления к вычислению опре-

оо оо

/л (t) Г

-j-dt, / t h{t)dt. Из формулы (26) непо-

средственно имеем

со оо

JMlat = J F(p)dp. (131)

По формуле (37)

( 1) +1/:-( +1)(,) +1/г(0.

Поэтому формула (26) дает возможность написать

со со

j t hit)dt = {-\f* f F \p)dp,

(132)

то уравнения Для определения постоянных А а В, выведенные в п. 8.4.10, имеют вид

(1-7o) + 5(H-To) = S,(p), (129)

Л(1+Т) + 5(1-Т) =0. (130)

Они приводят к формулам, подобным (109) и (ПО), но несколько более сложным.

8.4.21. Повреждение на линии. Предположим, что повреждение представлено обобщенным сопротивлением Z{р), включенным параллельно на расстоянии Zj от начала линии / (рис. 8.59). Характеристики участка / - это Lj, Cj, R, Gj. Для большей общности положим также, что, начиная с точки включения Z{р), линия имеет другие характеристики Z-o, Cg, R2,

и замкнута на обобщенное сопротивление Zij)) на расстоянии 1. Тогда обобщенное входное сопро-