f t h (t) dt {~\f [- F

(133).

Пример I. Требуется вычислить J dt. По формуле (131)

со w

0 0

arctg

K

Пример 2. Требуется вычислить / -j-dt (интеграл Фруллани)..

Известно, что

Р + а р+Ь

Следовательно,

- dt = f f-j- -]dp = [in - in 4 in Л .

J t J \p + a p+b) I p + bJQ b a

Пример 3. Требуется вычислить

J Mt) - cos t

Известно, что Отсюда

Vp+l

(J.it)-cost f, 1

ln±£tti

= In2:

Пример 4. Требуется вычислить I - j !ff Положила jc = 2 /-t

Тогда

Ho известно (формула (44)), что 1

Если приравнять

h{t) =

[j-)cf[-yVh(.)d..

и F{p) = -

иначе говоря.

570 то

((Л \ со V

v+1-

p О г -

-Следовательно, найдя оригинал левой части, получаем

Hi)

Если положить - 1, то

2v-!).+l

Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений

8.5.2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Дано дифференциальное уравнение

+ А - .. +A ,-h{t) + A h(t) = g{t). (134)

Применим преобразование Лапласа к функциям h{t) и g{t) а обозначим через F{p) и Ф(р) их изображения. Тогда применение формулы (28) дифференцирования функции переменной t преобразует дифференциальное уравнение (134) в алгебраическое уравнение

= Ф (р)+ й (0) [ЛоР -1 + Ар -2 +

-ЬА(0)Ио/ -+Л/ -+ +Л-21 +

-1-/г( -1(0)1Ло]. (135)

Отсюда

где через {р) обозначена функция, стоя7дая в правой части соотношения (135), а через D{p) - характеристический полином

D(p) = Ap+-AiP --\- ... +Лп.

В весьма важном частном случае, когда функция h{t) и ее п - 1 пер-.вых производных равны нулю при = О, имеем

Ф(р)

F{p) = 1

D{p)

Применение формулы (54) к -pjjy Дает

а t

1 Y

если считать, что полином D{p) степени п имеет только простые корни а. Применение теоремы свертывания (формула (40)) дает

(136)

Такой способ решения линейных дифференциальных уравнений имеет то громадное преимзшхество, что вводит начальные условия в начале вычислений. Это помогает избежать отыскания общего решения, когда нужно найти, а это почти всегда так и бывает, частное решение.

Найдем, для примера, решение уравнения -[-5 -\-Qy - 12 при

начальных условиях у(0) = 2, у(0) = 0. Имеем

(Р) = -у + 2(р-\-5).

Отсюда

Следовательно,

F(p) =

2р + 10р-- 12 p(f-i-5f + 6)

y(t)=2.

Совершенно очевидно, что отыскание классическим способом общего решения и введение начальных условий в конце вычислений заняло бы гораздо больше времени.

Пример 1. Требуется найти решение уравнения

+ Зх =

равное нулю при = 0. Имеем

D(p) = p-h3, 1

Следовательно,

р + 2-

Е(Р)- (р 2){р + 3) р + 2

р + 3

Пример 2. Требуется найти решение уравнения

+4 + 4у = .2,-.

равное нулю вместе с. производной при = 0. Имеем D{p) = p~f-ip-i-4={p~h2f. Формула (37) дифференцирования функции переменной р дает

- jh =(->7T2-=-(7W = <>-

Следовательно,