Найдем изображения этих членов. По формуле (28) имеем hit)3F ip), h (О □ pF ip) - h (0), h it) □ p-F (p) - ph (0) - h (0),

Применяя к предыдущим выражениям формулу (37), составляем таблицу:

h{t)3F(p), thit)3F(p), tyi(t)F {p),

h(t)3-h{0)+pF{p), thit)3-pF(P)~FiP%

t4{t)-3pF {p)+2F{p),

h it)3-h(0)- ph(0) + pFip), th it)3h(0)~2pF(p) - pFip), t4 (t) H 2F ip) + ApF {p) -h pF ip).

Если в интересующем нас. уравнении заменить каждый член левой части его изображением и то же сделать для функции, фигурирующей в правой части, то дифференциальное уравнение для h{t) оказывается замененным дифференциальным уравнением для F(p). Если это последнее уравнение решить легче, чем исходное, то можно определить h(t) по его изображению. Пойти дальше этого бывает трудно, так как функции h(t) часто не могут быть выражены с помощью конечного числа элементарных функций.

Пример. Дано дифференциальное уравнение

dy 1 dy dt t dt

-+(i-i)y = o.

Известно, что частное решение этого уравнения, имеющее конечное значение при = 0, представляет собой бесселеву функцию первого рода.

Мы уже находили изображение бесселевой функции для целых значений индекса (формула (62)). Поставим перед собой ту же задачу для любых положительных значений индекса v.

Из равенства следует

y(.t) = -.

8.5.3, Линейное дифференциальное уравнение с переменными алгебраическими коэффициентами (метод ван дер Поля). Такое уравнение имеет члены вида

h{t), th{t), t4(t),

h{t), th(t), t4(J:).....

h (t\ th {t), Ph (t),

что дает

dx dx du

dp du dp ch и

dQ. I 2 sh

du ch и ch u

du dQ 1 dQ Shu chu-3shu

dp du \ dp j dp du ch и du ch* и ch и

Уравнение приводится к виду

Отсюда получаем общий интеграл -~

Так как

e = p-+V+

Остается определить постоянные А к В так, чтобы функция y(J:) была именно функцией J(t).

Если приравнять v = 0, то

Так как известно (формула (16)), что

то получаем

А+В1.

Положим у = 1. Известно, что ряд для (О начинается с t, поэтому ряд для X (р) должен начинаться с . Следовательно,

14-.4-В=:0, .

откуда

л = 0, jS-=1.

Умножаем дифференциальное уравнение на Р и применяем формулы преобразования (137). Получаем

(/?2 4- I) х + Ърх + (1 - v2) X = 0.

x{p){ly{t)

без каких-либо предположений о начальных значениях y(t) и ее производных.

Для решения полученного уравнения положим

p=shu,

Это показывает, что формула (62), установленная для целого индекса, действительна для любого положителыюго индекса.

Применение операционного исчисления к решению некоторых интегральных уравнений

8.5.4. Линейные интегральные уравнения. Рассмотрим интегральное уравнение вида

Ah(t)-{-B f h(z)K(t - t)dz = Cgit). о

Неизвестная функция - это h (t). Функция g (t) известна, так же как и функция K(t), которую называют ядром. А, В, С - постоянные.

Рассматриваемый тип интегральных уравнений относится к группе так называемого замкнутого цикла. Если А Ф О, уравнение называется уравнением второго рода; если А -О, оно называется уравнением первого рода.

Введем в рассмотрение изображения функций:

h{t)3F{p), K(t)3P(p). g(t)3(P).

Теорема свертывания дает

j K(t-z)fi(-z)dz3F(p)W(p).

Отсюда получим соотношение

AF(p) + BFip)Wip) = CФip)

и изображение неизвестной функции

Р(р)-СФ(р)

Л + BW (р)

Пример 1. Решим уравнение Абеля t

h (т) dz

= g(t% 0<а<1.

Здесь мы имеем

откуда

Р> Г(1 -а)

Напишем Ffjt? в виде

= г(/ ) + - S (0)].

Таким образом, имеем соотношение