, sin атс

/г(0=-

Пример 2. Решим интегральное уравнение первого рода с логарифмическим ядром:

J h (z) In (t - z)dz=g(t).

Воспользуемся формулой (72). Тогда уравнение может быть написано в виде-Отсюда

-Е(р)(\.пр~()Ф(р).

Е{р) = -

рПр)

\np + t

Пользуясь способом, уже применявшимся в предыдушем примере, напишем F{p) в виде

<Р>- р(1пр + -х) /(Inp + T)

Если положить g(0)=0, то

рФ(р)-В(0)Сё (0-

Мы получим неизвестную функцию li(t), применяя теорему свертывания, если будем знать оригинал для

р(1пр + -у)

Будем исходить из формулы (56). Проинтегрируем обе части этого выражения от С до бесконечности по параметру v. Тогда

со оо

г fdy с dy У I 1

/ r(v+i)/+1~L р- \Пр1~ рр Применяем формулу (22):

г fa-- 1 1

J r(v + l) - р\п{1

Если положить а~е, то

р\п{ар) pi\np-\-\na)

г fe-i- 1

J r(v + l)- p(\n.p + -i)

Известно, что

Lr-i

Г(1-а)Г(а) = -..

Отсюда, пользуясь теоремой свертывания, получаем неизвестную функцию h{ty.

Имеем

/ th(z)dztf h(t)dz3~-[F(p)

Так как

h(t)3pF(py - h it)ZiPF(p),

Отсюда получаем неизвестную функцию h{t):

0 0 о

8.5.5. Нелинейные интегральные уравнения. Рассмотренный в предыдущем пункте способ можно применить к решению нелинейных интеграль-лых уравнений, где ядро равно неизвестной функции:

A!i{t)-+B jh(z)h{t - x)dzCg(t).

При тех же обозначениях получаем

Отсюда

Р( -А±УА+тСФ{р)

Пример. Требуется найти решение уравнения

1h it) - J hiT)h(t - z)dz=sint.

Имеем

Отсюда

-Решением будет

!i(t) = Mt).

8.5.6. Интегродифференциальные уравнения. Тот же способ позволяет решать некоторые интегральные уравнения, в которых неизвестная функция h(t) содержится также и под знаком производной. Это интегродиффе-ренциальные уравнения.

Выражения (28) и (37), дающие изображения /г* () и fht), позволяют преобразовать интегродифференциальное уравнение в дифференциальное, где Fip) - изображение /г (О--представляет собой неизвестную функцию. Началь-ные условия даны значениями /г(0), /г(0), к {0).....фигурирующими в соотношениях (28).

Пример. При начальных условиях /г (0) = Л(0) = й (0) = О требуется найти решение h(t) уравнения t

j [th (т) -hhii) h (t - z)]dzah (t) + {t) = g (t).

(РЦ + Р С/)! + ciF (р)+- bpF ip) = Ф (р). иначе говоря, уравнением Риккати

/= (Р) = Р [F(р)?-+-[j+ap-i-bp*] Fip) -.рФ(p).

.8.5.7. Применение операционного исчисления к исследованию функций. Некоторые свойства трансцендентных функций можно наглядно показать с помощью операционного исчисления.

Пример I. Даны две функции

Теорема свертывания дает ,

Fi iP) F, (;,) = □ гТЗ / (t - -У- - - dz.

Если положить y = X, то

Г(х + у) Г(х)Г(у)

иначе говоря, мы получили определение эйлеровой функции первого рода (п. 7.4.6):

В<х .л-Г(х)Г(у)

Можно заметить также, что некоторые трансцендентные функции имеют простые и даже алгебраические изображения. Вспомним в качестве примера Ci(0. ./,(0- Поэтому есть основание думать, что изучение свойств функции переменной t значительно упростится, если исходить из изображения этой функции.

Пример 2. Рассмотрим функцию Бесселя J{t) и найдем несколько уже установленных ранее формул, а также несколько новых. Имеем

Л (О И у== (1 - = 1 (РУ

J-.(t)=Y={V~-p) -F2(p)- . .

Одновременная запись обоих этих соотнощений налагает условие

-l<v<l.

то теорема свертывания дает

Так как

to. положив . \х

g(t)ziф{p). -

определим изображение F {р) уравнением