Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу Положим тогда Сумма имеет изображение Отсюда Л(0-Л(0 + -/5(0-Л(0+ =smt. Имеем также Но мы можем написать о р Vp + i IX 2 Х и + 1 р Гр+1 }р+1 Гр +1 Отсюда е со о г=0 Известно, что равна сумме ряда: Заменив в этом выражении Z на 21/7, получим / =0 и, умножив обе части на t, Имеем Отсюда, применяя теорему свертывания, получаем f J(t - z)J ,(z)dz = sin L Учитывая, что--имеет изображением -гт-. получаем Отсюда (-1) 1 r + v+I (138) Эта формула легко позволяет установить большое количество свойств бесселевой функции Продифференцируем левую часть (138) и умножим, правую на р. Тогда Следовательно, заменив в (138) на v-1, имеем г , П V-1 иначе говоря. 2V t J, (2 V7) -ь у; (2 VI)=л , (2 yi). Если заменить 2 y~t на , то получим хорошо известную рекуррентную формулу уЛ(0+Х(0 = Л 1(0- Рассмотрим тождество а + 1 Формула (138) преобразует это тождество по р в тождество по t: -L j2/F(T+) = (\ + аУ = Л(2 У1)~ауи {2 1/7) + ]Л (2 /7)- ... Если заменить 2 1/7 на , а у I -\-а на т, то v>-l. Это формула умножения аргументов для функции Бесселя. Формула (138) легко позволяет написать соотношение между двумя функциями Бесселя с любыми индексами (t) и (t) при v > > - 1. Имеем tb{2yi)-e-T. Так как /г (0) = /г (0) = ... = /г* ~ (0) = О, то по формуле (30) и применяя формулу (33), где Х = -1, получаем , -.->== WD-..i(.-ir, Т. е. получаем изображение полинома Лагерра Lit). Если переменную обозначить через х, то, согласно последнему соотношению, можно написать и=0 и=0 P-f- Отсюда, применяя формулу (15), где с ==:-j--получим х 1 -i-- и! 1 -X Следовательно, полиномы Лагерра являются коэффициентами при в раз-.ложении в ряд функции 1 -t-j - 3.Tj функцию называют производящей функцией полиномов Лагерра. Применив теорему свертывания, получаем о Отсюда \ 1ФУ1) = j.- / - ху-- (2 1/) d.. о Если заменить в этом выражении 2 уЛ Z на Z, а 2 т на т, получим искомое выражение fj (t) = /- f (t - -- x + j (x) dz. . v4 J 2-i-ir(v -(A) ./ Пример 3. Полиномы, определенные равенством называют полиномами Лагерра. Формула (14) при применении формулы (33). где X =1, дает /г(0 = е-3-
|