Последовательное интегрирование по частям дает

оо со со

J п\ pj (и-1)! p ./

0 0 .0

Значит, равенство (*) подтверждается, и точка зрения Хевисайда, выраженная равенством (143), совпадает с точкой зрения Карсона.

Нужно сознаться, что операционное исчисление до работ Карсона и П. Леви, которые дали ему незыблемое математическое основание, таило в себе множество ловушек. Небезопасно было обращаться с р как с алгебраическим числом, и только гениальная интуиция Хевисайда позволяла ему обходиться без ошибок при вычислениях.

8.6.2, Обозначения в операционном исчислении. В работах, посвященных операционному исчислению, для обозначения функционального соотношения между функциями /(р) и й(0 применяются следующие обозначения.

Преобразование Лапласа:

\) F{p) = L[h{t)], h{t) = L-{F(p)] (А. И. Лурье, Г. Дёч, Ян Микусинский, В. А. Диткин и А. П. Прудников, Н. С. Пискунов).

2) F(p)-f(t), f(t)F(p) (Н. С. Пискунов).

3)£(Р)СЙ(0. h{t)3E{p) (А. Анго).

Преобразование Карсона:

1) f(P) = h(t). h(t)=f{p) . (Б. ван дер Поль).

2) F(p} = pL{h(t)} (А. И. Лурье).

3) F{p)c:h(t). h{t)zDFip) (А. Анго).

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VIII

1. Конторович М. И., Операционное исчисление и нестационарные явления в электрических цепях, Гостехиздат, 1953.

2. Лурье А. И., Операционное исчисление и его приложения к задачам механики, Гостехиздат, 1950.

3. П и с к у н о в Н. С, Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Физматгиз, 1963.

4. Д е ч Г., Руководство к практическому применению преобразования Лапласа, Физматгиз, 1960.

5. Диткин В. А. и Прудников А. П., Интегральные преобразования и операционное исчисление (СМБ), Физматгиз, 1961.

6. Д и т к и н В. А. и Кузнецов П. И., Справочник по операционному исчислению, Гостехиздат, 1951.

7. Э ф р о с А. М., Данилевский А. М., Операционное исчисление и контурные интегралы, ДНТВУ, 1937.

8. ВандерПоль Б. и Врем мер X., Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа, ИЛ, 1952.

9. М и к у с и н с к и й Я., Операторное исчисление, ИЛ, 1956.

10. Т е у м и н И. И., Справочник по переходным электрическим процессам, Связь-издат, 1951.

ГЛАВА IX ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПРИЛОЖЕНИЯ

9.1. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

9.I.I. Определение вероятности. Рассмотрим некоторое событие т. е. факт, который может произойти или не произойти в результате опыта. Пусть из общего числа N равновозможных случаев имеется п благоприят-етвутощих этому событию, т. е. таких случаев, когда событие происходит. Тогда вероятность р соверщения события А определяется формулой

Если событие А не происходит, то имеет место событие не А, которое мы назовем противоположным событием и обозначим через В. Число случаев, благоприятствующих соверщению события В, равно, очевидно, - п. Вероятность В будет, следовательно, равна

Если событие А достоверно, то n = N, а следовательно, и р~\.

Если событие А невозможно, то и = 0, и, следовательно, p = Q.

Пример. Какова вероятность извлечь наудачу 5 белых щаров из урны в которой лежит 12 белых шаров и 7 черных?

Общее число возможных случаев равно числу способов извлекать 5 шаров из 19, т. е. числу сочетаний из 19 предметов по 5. Следовательно,

Число благоприятных случаев равно числу способов извлекать 5 белых, шаров из 12, т. е.

12! ~ 5\71

Значит, искомая вероятность равна

и 22 . .

N ~ 323

*) Вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события. Формула для непосредственного подсчета вероятностей, введенная автором:

п .

имеет место лишь для схемы случаев . При этом, помимо равновозможности всех случаев, необходимо, .чтобы они составляли полную группу, т. е. чтобы в результате опыта непременно произошел хотя бы один из случаев, а также чтобы они были несовместными, т. е. чтобы никакие два из них не могли появиться одновременно в данном опыте.

*) Теорема умножения вероятностей обычно формулируется так: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место. При этом произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлений всех этих событий. В случае независимости событий условная вероятность появления события равна его безусловной вероятности.

9.1.2. Независимые события. Теорема умножения вероятностей. Говорят, что события независимы, если на осуществление одного из них не влияет осуществление остальных.

Если обозначить вероятности независимых событий Л А, А.....Л

через jOj, jOg, р, .... р, то возможность совместного осуществления всех событий А-, ..., А будет равна произведению вероятностей jOj, р, Р-В этом состоит теорема умножения вероятностей. Поясним для двух независимых событий Л А. Пусть TVj, - соответственно числа равновоз-можных случаев, j, 1Ц - числа случаев, благоприятствующих осуществлению событий А- и Л2, а jOj, р - их вероятности. Имеем

щ 2 -

Общее число случаев, благоприятствующих совместному осуществлению обоих событий Лр Лд, равно п-п, общее число возможных случаев равно NN, поэтому

P = PlP2-

где р обозначает вероятность совместного осуществления обоих событий Л, и Л2. Эту теорему легко обобщить на любое число событий.

Пусть jOj - вероятность осуществления событий Л а р - вероятность осуществления события Л2 после того, как событие Л, произошло.. Вероятность того, что события Л1 и Л2 осуществятся последовательно, будет равна Рт.р2- Доказательство этой теоремы проводится подобно доказательству предыдущей. Она легко обобщается на любое число событий*).

Пример. Рассмотрим снова предыдущий пример. Вероятность в первый

же раз извлечь белый шар равна -д . Как только мы произвели эту операцию, вероятность во второй раз извлечь белый шар равна уже 12-1 11

= -jg-; аналогично при третьем, четвертом и пятом извлечениях

вероятности извлечения белого шара будут соответственно равны

9 8 17 16 15

Следовательно, вероятность извлечения пяти белых шаров при пяти последовательных извлечениях равна

12.1Ы0.9-8 22 19-18.17-16-15 ~ 323

9.1.3. Несовместные события. Теорема сложения вероятностей.

Говорят, что события А, А.....Л несовместны, если осуществление

одного из них исключает возможность осуществления остальных. При этом условии вероятность того, что одно из группы событий Л,.....Л осуществится, равна сумме вероятностей осуществления каждого из этих событий в отдельности.

Действительно, пусть вероятности событий Л . . ., Л равны соответственно р. - ~-, , pz=. Вероятность того, что какое-либо из