Интересующие нас семейства кривых изображены на рис. 1.43. Любые кривые каждого из семейств могут быть совмещены путем параллельного переноса:

х = 1пХ-In cos у,

/ It

x~lnV - In cos у--

e) Преобразование Z = k\nz. Имеем

Таким образом, получаем ортогональные семейства полупрямых и окружностей с центром в начале координат (рис. 1.44 для k=\). Это отображение дает силовые и эквипотенциальные поля, вызванные наэлектризованной

Рис. 1.44.

поверхностью прямого круглого цилиндра, в частности, вокруг наэлектризованной прямой, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рис. 1.44. Та же картина силовых линий и линий уровня возникнет между двумя концентрическими прямыми цилиндрами с круглыми основаниями, обладающими разными потенциалами. Рассмотрим последний случай.

Пусть X - потенциальная функция, и Х - соответствующие потенциалы цилиндров с радиусами /?j и (i > 2)- Имеем R- = e/ а /?2 == б * - При полном повороте вокруг оси приращение функции Y равно 2/ел. Следовательно, единичный заряд будет равен 2/eits. Отсюда емкость С на единицу длины конденсатора, образованного двумя концентрическими цилиндрами, равна i)

2feite 2ite

ж) Преобразование Z-kln

z - d z+d

Приравнивая в обеих- частях ра-

венства

. - eXikgjYik модули и аргументы, получаем

sin А~ k

(б).

1.4]

КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

75

Это - уравнения двух ортогональных семейств окружностей (рис. 1.45). Окружности семейства (б) проходят через точки F п F с абсциссами ±d, к которым сводятся окружности семейства (а) при X = ±оо. Для одной

Рис. 1.45.

и той же окружности семейства (б) при переходе от верхней дуги FMF

к нижней дуге FMF значения параметра отличаются друг от друга на -к.

Из этого следует, что если уравнение отрезка FF будет K==ir, то уравнение оси абсцисс, из которой вырезан этот отрезок, будет Y-Q. Точно так же окружностям семейства (а), находящимся справа от оси Оу, соответствуют отрицательные значения X, находящимся слева - положительные.

Легко заметить, что = £ FMF для верхней дуги окружности (б),

- = л - l FMF для нижней дуги окружности (б) и - = 1п .

Пусть X - потенциальная функция. В этом случае предыдущие равенства дают силовые эквипотенциальные линии поля, вызванного двумя наэлектризованными поверхностями прямых цилиндров с круглым основанием, оси которых параллельны друг другу и находятся на расстоянии 2а. Положим, что радиусы цилиндров равны R. Вычислим емкость С на единицу длины конденсатора, образованного обеими поверхностями. Пусть X - потенциал левого цилиндра, - X - потенциал правого, разность потенциалов соответственно равна 2Х. Имеем

dcih~ = а

значит, X - k arch

При обходе вокруг цилиндра У изменяется на величину 2k-ic. Следовательно, единичный заряд q = 2Ые-1) и

arch

Замечание. Если проводящий цилиндр сводится к прямолинейному проводу пренебрежимо малого диаметра, то предыдущие равенства дают

электрическое поле, вызванное двумя параллельными проводами, отстоящими друг от друга на расстоянии 2d, или проводом, отстоящим на расстоянии d от параллельной ему бесконечной проводящей плоскости {X - 0).

з) Преобразование z = Z- е. Из этого равенства, придавая постоянное значение либо X, либо Y, получаем семейства кривых х- A-j-ecos Y,

у~ Y~\-es\nY, записанных в параметрической форме. Мы легко можем определить эквипотенциальные линии Y{x, у) и силовые линии Х{х, у) электростатического поля между двумя бесконечными полуплоскостями с потенциалами -- и - it (рис. 1.46) и вблизи их границы.

Замечание. Все конформные отображения представляют кривые Х{х, >))=:coHst и К(х, у) = const как образы прямых АГ = const, К = const. В примерах, рассмотренных выше, отображения выбирались нами априори.Затем мы находили соответствующую им картину силовых и эквипотенциальных линий. Однако, как уже отмечалось выше, чаще приходится решать обратную задачу: задана кривая y = v(x); найти функцию f {z), отображающую эту кривую на ось К = 0. К сожалению, эта задача обычно бывает неразрешима, кроме следующих двух основных случаев.

1. Кривая y = cp(jc) может быть выражена в параметрической форме:

x = u{t), y===v{t).

Тогда искомое преобразование имеет вид

Zr=u{kZ)Jv{hZ),

где k - вещественная постоянная.

Действительно, приравняем К=0, тогда

xu(kX), y = v(kX).

Эти равенства и являются параметрическими уравнениями данной кривой.

Найдем отображение, преобразующее, например, ось К = 0 в эллипс х v

-f-=l. Имеем x = acost, y = bsmt. Как легко заметить, искомое

Рис. 1.46.

Ь

преобразование будет

z = acos ZH- jb sin Z.

2. Кривая y = cp(jc) задает замкнутый многоугольник. В этом случае задача решается отображением Шварца (п. 1.4.4).

1.4.3. Последовательные отображения. Рассмотрим два отображения, связывающие между собой три точки плоскостей комплексных переменных Z, V, z:

Z = (f(n V={z).