К=-щ- (5)

Дисперсией случайной величины х называется величина D, определяемая формулой

D(Xi - l:fp. = a\ (6)

а величина о, представляющая собой квадратный корень из дисперсии, называется средним квадратическим отклонением или стандартом случайной величины X. Дисперсия случайной величины характеризует рассеивание, разбросанность значений случайной величины около ее математического ожидания.

Легко заметить, что для величин 8 и о справедливо следующее неравенство:

Если f{x)-функция случайной величины х, определенная для всех значений х, то математическое ожидание этой функции относительно рассматриваемого закона распределения случайной величины х определится формулой

?=f{Xi)Pi. (7)

Дисперсия функции /(х) будет равна

o[/]=i:[/(x,)-7]4-- (8)

Величина х, определяемая формулой

=ъх\р1. (9)

называется начальным моментом порядка г случайной величины х. Если

математическое значение случайной величины х равно нулю, то величина

называется центральным моментом порядка г случайной величины х; при этом х = х = 0.

Можно предложить следующую механическую интерпретацию закона распределения, которая поясняет введение термина момент.

Рассмотрим ось х с началом в точке О и поместим в точках с абсциссами X,.....Ху, х, массы, равные .....pj, р (распределение

общей массы, равной единице).

Разность между значением случайной величины л; и ее матемадаческим ожиданием х обозначается через 8 и называется отклонением ( или центрированной случайной величиной):

8 = х-X. (4)

Математическое ожидание отклонения равно нулю:

8 = 0.

Средним арифметическим отклонением называется математическое ожидание абсолютных зна 1ений случайной величины 6:

Начальный момент первого порядка-математическое ожидание х - есть абсцисса центра тяжести этих масс или статический момент этих масс относительно точки О. Если перенести начало отсчета в эту точку, то x~Q. В этом случае величина х--центральный момент второго порядка, или, что то же самое, дисперсия случайной величины х - представляет собой момент инерции масс Pi относительно математического ожидания случайной величины X.

9.1.6. Непрерывные случайные величины. Если через Р{х) обозначить вероятность того, что значение случайной величины находится между -оо и X, то будет монотонной неубывающей функцией переменной х, ко-

торая, очевидно, будет равна нулю при л; = - оо и единице при х = -\-со.

Рис. 9.2.

Рис. 9.3.

В случае дискретной случайной величины Я(лг) - ступенчатая функция, у которой высоты ступеней равны вероятностям pj, р, Pi.....р (рис. 9.2).

В случае непрерывной случайной величины характер изменения функции Р(х) представлен на рис. 9.3. Может существовать и промежуточный случай, когда функция Р{х) имеет точки разрыва первого рода (рис. 9.4). Функция Р{х) называется функцией распределения случайной величины х.

Если для простоты считать, что в случае непрерывной случайной величины функция распределения непрерывна, то можно определить ее формулой

Р(х)= J p{%)d\, fpa)di=i.

Рис. 9.4.

Обращаясь опять к механической интерпретации и рассматривая распределение массы, равной единице, можно сказать, что р(л:) - линейная плотность. Величина р{х) называется плотностью вероятности (плотностью распределения). Математическое ожидание непрерывной случайной величины х определяется формулой

= J xpix)dx.

(10)

Отклонение В равно, как и раньше, х - х. Дисперсия непрерывной случайной величины X равна

D = a2== f(x - xfp(x)dx.

. (11)

Величина а, как и ранее, представляет собой среднее квадратическое отклонение, или стандарт случайной величины х.

J xpix)

dx. (14)

Если выбрать за начало координат абсциссу математического ожидания х,- то центральный момент второго порядка, или диспе]зсия непрерывной случайной величины х, будет представлять собой момент инерции рассматриваемой массы относительно центра тяжести. Если математическое ожидание X не выбрано за начало координат, то можно выразить дисперсию D через два первых начальных момента с помощью равенства

D-=3-2(x)2 + (x)2 = F -(х)2. (15)

9.1.7. Характеристическая функция. Пусть дана непрерывная случайная величина х и соответствующая ей плотность вероятности р(х).

Для ряда задач удобно ввести функцию от переменной а, которая представляет собой математическое ожидание величины е- . Она называется характеристической функцией случайной величины х-*). По определению, эта функция ср(н) равна

ср(й) = е- = Je/ Xx)dx. (16)

Здесь J =Y - 1 - мнимая единица.

Из свойств, интеграла Фурье (п. 2.2.2, формула (21)) следует обратная формула

Р(х) = f cp(B)e- J . (17)

Введение характеристической функции связано с тем, что ее последовательные производные, в которых положено и = О, представляют собой.

*) Метод характеристических функций был создан А. М. Ляпуновым.

Обозначим через f {х) функцию, определенную для всех значений х. Математическое ожидание функции / и ее дисперсия определяются соответственно формулами

/== ff{x)p(x)dx: (12)

-со со

Dlf] = [f{x) - Jfp(x)dx. (13)

- СО

Можно считать, что функция Р (х)-определяет на оси храспределение общей массы, равной единице. Математическое ожидание х представляет собой статический момент относительно точки О; одновременно это абсцисса центра тяжести.

Математическое ожидание отклонения В равно нулю, так как это есть статический момент относительно центра, тяжести:

- = 0.

Начальный момент порядка г непрерывной случайной величины определяется выражением