с точностью до коэффициента ±/, начальные моменты того же порядка. Действительно,

(р(0)= jp(x)dX:=l,

(0)=J j xpix)dx=:jx.

* -СО *

оо .

(р(п(0)=:/ xp{x)dx = f¥.

Поэтому, если разложить функцию ср(н) в ряд Маклорена

9(£J)= 1 jux-

(18)

Если этот ряд сходится, то знание начальных моментов различных порядков определяет при некоторых условиях характеристическую функцию, а следовательно, и функцию pix).

Пример. Рассмотрим переменную х, для которой плотность вероятности равна нулю вне интервала (О, 1) и равна единице внутри этого интервала:

р(д;) = 0 при х<0 и jcl. р(х)=1 при 0<;л;<1.

Функция распределения равна

X \ О для л; < 0.

Р(х)= p()d\ = i л; для 0<х<1.

[ 1 для л;>1.

Математическое ожидание х равно

X- J xp{x)dx = J X dx = .

что было очевидно а priori. Дисперсия равна

со )J,

. а2 = Jux - х)2р (х) = /[ - 4 )

а характеристическая функция

/г pf X

Р (х, у) = J j р (х. у) dx dy.

-со -со

Мы рассмотрели случай непрерывной функции, распределения системы двух непрерывных случайных величин. Легко представить себе функцию распределения для случаи системы двух дискретных случайных величин, аналогичную функции распределения одной дискретной случайной величины, представленной на рис. 9.2, а также разрывную функцию распределения для случая системы двух непрерывных случайных величин, аналогичную представленной на рис. 9.4 для одной непрерывной случайной величины.

Определим начальные моменты различных порядков для системы двух случайных величин. Имеется п-{-1 момент и-го порядка:

оо со .

х = j J хр(х, y)dxdy,

- со -со

со со

x -V= / j x-iypix, y)dxdy,

- CO -CO , .,1

CO CO

-oo -OO

Если перенести начало координат в точку х = х = -, иначе говоря, если заменить х н& х-- , то для ср (и) получим

9.1.8. Распределение системы дв.ух случайных величин. Рассмотрим случай системы двух случайных величин х и у. Функция распределения системы двух случайных величин Р{х, у) представляет собой вероятность того, что обе случайные величины будут соответственно меньше л; и у. Функция распределения должна удовлетворять следуюшим. условиям:

- 0<Р(х, у)<1, Р(~оо, -оо) = Р(-оо, у) = Р(х, -оо)=0, Р(+оо, +оо)==1.

Условие монотонности функции распределения, поведение которой для одной случайной величины характеризовалось графиком, приведенным на рис. 9.3, для системы двух случайных величин характеризуется неравенствами

Pix-\-h, у) - Р{х, у)0,. Р(х. y-i-k)~P{x, у)>0, Pix-\-h, у + Д:) -+ y)>P(x, y-i-k)~P(x, у),

где через h и k обозначены положительные прирашения величин х и у соответственно. Плотность вероятности системы двух случайных величин определяется формулой

дР (X, у) Р<У)- дхду

откуда

Если рассматривать р(,х, у) как величину, определяющую плотность единичной массы, распределенной на плоскости бху, в точке (х, у), то оба момента первого порядка х к у определят абсциссу и ординату центра тяжести этой массы. Это будут моменты первого порядка системы случайных величин {х, у), спроектированные соответственно на оси хну.

Если выбрать начало координат в точке {х, у), то получим центральные моменты второго порядка х и у, которые примут вид

со со

3= J I(x - xfp{,x, y)dxdy = {a),

- СО -СО

СО со

J J ~ Р ( - (°)у

-со -со

Характеристическая функция представляет собой математическое ожидание функции

(ux+t/y)

т. е.

СО со

(р(к, f Je-z+ypCx, у)dxdy.

- со -со

Если разложить характеристическую функцию в ряд Маклорена по двум переменным и и v, то получим

4ср(0, 0) + г;А,р(о, 0)1 +...:=

+ +J( + Уf+ ]р(х, y)dxdy.

-со -со

приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменных и и v, будем иметь

Аф(0, 0) = jx. ср(0, 0) = 7у,

ср(0, 0)= -ху,

dudv

5(0, 0) = -у2.

du-fdv

<р(0, 0) = y x -V-

(19)

Все рассмотренные выше понятия легко обобщить на системы любого числа случайных величин.

9.1.9. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин. Пусть имеется случайная величина х, которая в процессе опыта принимает значения х х, и другая случайная величина, независимая

от первой, которая в процессе опыта принимает значения Ур Уз- Определим случайную величину х-\-у. В процессе опыта она принимает значения

Xi+yi, Х1 + У2. х + Уг. Х2 + У2.