Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу *) Вместо термина частота иногда используют термины частость или статистическая вероятность. Для характеристической функции суммы х -\~ у имеем Учитывая, что случайные величины х и у независимы, заключаем, что двойной интеграл от правой части сводится к двум простым интегралам. Следовательно, правая часть равна произведению характеристических функций слагаемых, т. е. fx+y = 9x-fy (20) где через ср обозначается характеристическая функция для случайной величины а. Итак, характеристическая функция суммы величин х-\-у равна произведению характеристических функций величины х и величины у. Это правило легко обобщается на любое число независимых случайных величин. Основные законы распределения случайных величин 9.1.10. Биномиальный закон распределения. Пусть некоторое событие А может осуществиться в ходе испытаний. Если А не осуществится, то осуществится противоположное событие В. Пусть р - вероятность осуществления события А. Очевидно, что вероятность осуществления противоположного события будет д=1-р. Если проделать п последовательных независимых опытов, то вероятность Pik) того, что событие А осуществится в точности k раз, событие В, следовательно, п - k раз, будет, если не учитывается порядок событий, P (;) = C>V- в связи с тем, что вероятности Р () по форме представляют собой члены разложения бинома (p-\-q) , распределение вероятностей вида (21) называется биномиальным законом распределения. Числа р и д определяются условиями эксперимента, а число опытов п устанавливается заранее. Найдем при этих условиях значение k, при котором вероятность P (k) оказывается наибольшей. Сравнивая значения Pik) и P {k-\-l), имеем Р ( +1) Р п-п Р {п) - q k+\ Следовательно, P {k) возрастает вместе с до тех пор, пока значение k меньше или равно пр - д. Если пр-q - целое число, то наибольшее значение вероятности достигается при двух значениях k: k = np - q и k~np-\- p. Если пр-q - не целое число, то наибольшая вероятность достигается при одном значении k, которое равно ближайшему целому числу, большему чем пр - q, или, что то же самое, целой части числа пр--\-р. Так как в дальнейшем мы будем предполагать, что число п опытов велико, то можно без заметной ошибки сказать, что наиболее вероятное число осуществлений события А равно пр (оно отличается от точного значения меньше, чем на k единицу). Если через - обозначить частоту *) осуществления события А. то МОЖНО сказать, что наиболее вероятное значение частоты будет приближенно равно вероятности р. Найдем вероятность того, что событие А осуществится в п опытах по крайней мере k раз. Эта вероятность будет равна сумме рп + сргг-д ... +Cp -V. т. е. сумме k-\-\ первых членов разложения бинома {p~\-q). Вычислим математическое ожидание и дисперсию переменной k биномиального закона. Для этого будем исходить из тождества ft = 0 Продифференцируем обе части тождества по у. Тогда npipy + qf-=-ikP {k)y-K Полагая у=1 в обеих частях последнего равенства, получим k=SikP (k)=np. (22) ft=i Продифференцируем еще раз обе части тождества (*) и в полученном выражении снова положим у = 1. При этом будем иметь п n(n~l)p=k(k~l)P (k)=y,k(k~l)P{k):=k -k. (23) Согласно формуле (15), дисперсия равна D = k - (kf D = k - k-\-[k - (kf]. На основании формул (22) и (23) имеем Dn(n-l)p-i-np - np D = npq, откуда a = Ynpq. 9ЛЛ1. Характеристическая функция биномиального закона. Рассмотрим случайную величину х, которая принимает значение 1 в случае осуществления события А и значение О в противоположном случае. Биномиальный закон распределения характеризует распределение массы, равной единице, при котором масса q находится в точке О, а масса р - в точке 1. Следовательно, 0 при л; < О, Р(х)= q при 0<л;<1, 1 при х1. Плотность вероятности р(х) равна нулю во всех точках, кроме точек х - 0, л: = 1, где она принимает соответственно значения q и р. Характеристическая функция (и) в случае одного испытания будет, следовательно, иметь вид ср(й)= f eJdP(x) = q-i-pe . 0,16 г В случае п испытаний характеристическая функция (р(и) равна Раскроем скобки в правой части: + ---+PV . (24) Переменная k в случае п испытаний может принимать п +1 возможных зна- 0,70 чений О, 1, 2,-..., п. 70 16 26 Рис. 9.5. 26 36 вероятности которых равны Р (0). (1). (2).....Pniri). Приравнивая друг другу оба выражения для математического ожидания функции е- , будем иметь ср( )= I e dP(x) = P (0)+ ... + ... +Я (й)е> . (25) + Р (Д:)е Сравнивая выражения (24) и (25) для ср(н), найдем P (A)=c VV - Таким образом, мы снова получили биномиальный закон распределения. Пример. Рассмотрим событие, вероятность осуществления кото- рого р - -. Вычислим вероятности того, что событие осуществится О, 1, 2, 3, . .., 29, 30 раз при 30 повторных испытаниях. Биномиальный закон позволяет составить такую таблицу: Р(4) = 0,001... Р(10)=0.115... Р(16) = 0,049... Р(11) = 0,139. . . Р(12) = 0,147. . . Я(13)=0,136... Р(14) = 0,110. . . Р(15)=0,078. . . Р (5) = 0,003. . Р(6) = 0,011. . Р(7) = 0,026. . Р (8) = 0.050. . Р (9) =0,082. . Р(17)=0,027... Р(18) = 0,013... Р(19) = 0,005... Р(20) = 0,002... Р(21) = 0,000... Если Б точках с абсциссами О, 1, 2..... 29, 30 провести ординаты, длины которых пропорциональны Р(0), Р(1), Р (2), ...,Р(29), Р(30), то получим схему, представленную на рис. 9.5. Когда число п становится очень большим, схема деформируется: она сдвигается вправо и становится все более пологой. Действительно, сумма ординат остается все время равной единице, так как эти ординаты представляют собой сумму членов бинома (р -f- д) = 1. Целесообразно рассмотреть такую схему в случае, когда за начало отсчета на оси абсцисс принимается точка, соответствующая максимуму орди-
|