Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 [ 193 ] 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

*) Вместо термина частота иногда используют термины частость или статистическая вероятность.

Для характеристической функции суммы х -\~ у имеем

Учитывая, что случайные величины х и у независимы, заключаем, что двойной интеграл от правой части сводится к двум простым интегралам. Следовательно, правая часть равна произведению характеристических функций слагаемых, т. е.

fx+y = 9x-fy (20)

где через ср обозначается характеристическая функция для случайной величины а. Итак, характеристическая функция суммы величин х-\-у равна произведению характеристических функций величины х и величины у. Это правило легко обобщается на любое число независимых случайных величин.

Основные законы распределения случайных величин

9.1.10. Биномиальный закон распределения. Пусть некоторое событие А может осуществиться в ходе испытаний. Если А не осуществится, то осуществится противоположное событие В. Пусть р - вероятность осуществления события А. Очевидно, что вероятность осуществления противоположного события будет д=1-р. Если проделать п последовательных независимых опытов, то вероятность Pik) того, что событие А осуществится в точности k раз, событие В, следовательно, п - k раз, будет, если не учитывается порядок событий,

P (;) = C>V-

в связи с тем, что вероятности Р () по форме представляют собой члены разложения бинома (p-\-q) , распределение вероятностей вида (21) называется биномиальным законом распределения. Числа р и д определяются условиями эксперимента, а число опытов п устанавливается заранее. Найдем при этих условиях значение k, при котором вероятность P (k) оказывается наибольшей.

Сравнивая значения Pik) и P {k-\-l), имеем

Р ( +1) Р п-п Р {п) - q k+\

Следовательно, P {k) возрастает вместе с до тех пор, пока значение k меньше или равно пр - д. Если пр-q - целое число, то наибольшее значение вероятности достигается при двух значениях k:

k = np - q и k~np-\- p.

Если пр-q - не целое число, то наибольшая вероятность достигается при одном значении k, которое равно ближайшему целому числу, большему чем пр - q, или, что то же самое, целой части числа пр--\-р. Так как в дальнейшем мы будем предполагать, что число п опытов велико, то можно без заметной ошибки сказать, что наиболее вероятное число осуществлений события А равно пр (оно отличается от точного значения меньше, чем на k

единицу). Если через - обозначить частоту *) осуществления события А. то



МОЖНО сказать, что наиболее вероятное значение частоты будет приближенно равно вероятности р.

Найдем вероятность того, что событие А осуществится в п опытах по крайней мере k раз. Эта вероятность будет равна сумме

рп + сргг-д ... +Cp -V.

т. е. сумме k-\-\ первых членов разложения бинома {p~\-q).

Вычислим математическое ожидание и дисперсию переменной k биномиального закона. Для этого будем исходить из тождества

ft = 0

Продифференцируем обе части тождества по у. Тогда npipy + qf-=-ikP {k)y-K Полагая у=1 в обеих частях последнего равенства, получим

k=SikP (k)=np. (22)

ft=i

Продифференцируем еще раз обе части тождества (*) и в полученном выражении снова положим у = 1. При этом будем иметь

п

n(n~l)p=k(k~l)P (k)=y,k(k~l)P{k):=k -k. (23)

Согласно формуле (15), дисперсия равна

D = k - (kf

D = k - k-\-[k - (kf]. На основании формул (22) и (23) имеем

Dn(n-l)p-i-np - np

D = npq,

откуда

a = Ynpq.

9ЛЛ1. Характеристическая функция биномиального закона. Рассмотрим случайную величину х, которая принимает значение 1 в случае осуществления события А и значение О в противоположном случае. Биномиальный закон распределения характеризует распределение массы, равной единице, при котором масса q находится в точке О, а масса р - в точке 1. Следовательно,

0 при л; < О, Р(х)= q при 0<л;<1,

1 при х1.

Плотность вероятности р(х) равна нулю во всех точках, кроме точек х - 0, л: = 1, где она принимает соответственно значения q и р.



Характеристическая функция (и) в случае одного испытания будет, следовательно, иметь вид

ср(й)= f eJdP(x) = q-i-pe .

0,16 г

В случае п испытаний характеристическая функция (р(и) равна

Раскроем скобки в правой части:

+ ---+PV . (24)

Переменная k в случае п испытаний может принимать п +1 возможных зна-

0,70

чений

О, 1, 2,-..., п.

70 16 26 Рис. 9.5.

26 36

вероятности которых равны

Р (0). (1). (2).....Pniri).

Приравнивая друг другу оба выражения для математического ожидания функции е- , будем иметь

ср( )= I e dP(x) = P (0)+ ... + ... +Я (й)е> . (25)

+ Р (Д:)е

Сравнивая выражения (24) и (25) для ср(н), найдем

P (A)=c VV -

Таким образом, мы снова получили биномиальный закон распределения. Пример. Рассмотрим событие, вероятность осуществления кото-

рого р - -. Вычислим вероятности того, что событие осуществится О, 1, 2,

3, . .., 29, 30 раз при 30 повторных испытаниях.

Биномиальный закон позволяет составить такую таблицу:

Р(4) = 0,001... Р(10)=0.115... Р(16) = 0,049... Р(11) = 0,139. . . Р(12) = 0,147. . . Я(13)=0,136... Р(14) = 0,110. . . Р(15)=0,078. . .

Р (5) = 0,003. . Р(6) = 0,011. . Р(7) = 0,026. . Р (8) = 0.050. . Р (9) =0,082. .

Р(17)=0,027... Р(18) = 0,013... Р(19) = 0,005... Р(20) = 0,002... Р(21) = 0,000...

Если Б точках с абсциссами О, 1, 2..... 29, 30 провести ординаты, длины

которых пропорциональны Р(0), Р(1), Р (2), ...,Р(29), Р(30), то получим схему, представленную на рис. 9.5. Когда число п становится очень большим, схема деформируется: она сдвигается вправо и становится все более пологой. Действительно, сумма ординат остается все время равной единице, так как эти ординаты представляют собой сумму членов бинома (р -f- д) = 1.

Целесообразно рассмотреть такую схему в случае, когда за начало отсчета на оси абсцисс принимается точка, соответствующая максимуму орди-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 [ 193 ] 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251