получим

(2/-- 1)?2-2=2$2

Отсюда при г == 1 находим

.1=2о2. o = -L V2

SF 1-3...(2/--1). t - 2

Если бы мы взяли нормальный закон распределения в виде (33), то получили бы

=1-3... (2/- -l)o2

9.1.13. Характеристическая функция нормального закона распределения. По определению, характеристическая функция (р(и) равна

ср(и) = -i= / е е 2c=dx.

ay 2iz J

- CO

Вычисление ее легко сводится к вычислению интеграла

со *

J у а

Отсюда, считая, что а = и у = ио, получаем выражение

cf(u)-e 2

которое имеет ту же аналитичеркую форму, что и плотность вероятности. Вычисление производных от функции (р(и) позволяет легко найти

х2 = (-1) (0) = 1 . 3 ... (2/- - 1) o2 х2-+1=0.

9.1.14. Теорема Бернулли. Пусть дано сколь угодно малое число tj. Вероятность того, что разность между частотой появления события и вероятностью этого события окажется меньше у}, стремится к единице, когда число п опытов бесконечно возрастает. Иначе говоря, когда п бесконечно возрастает, частоты осуществлений события А и противоположного события В неограниченно приближаются к вероятностям р и д.

Высказанное выше предложение называется законом больших чисел.

Пусть т; -сколь угодно малое положительное число. Покажем, что вероятность выполнения неравенства

< (34)

при бесконечно возрастающем п стремится к единице. Другими словами, частота появления события А стремится к вероятности р.

порядка 2г (все моменты нечетных порядков в силу симметрии равны нулю). Интегрируя от нуля до бесконечности обе части тождества

(2r-lg-6) = (2/-- l)£2r-2g-5 2£2г~6%

Если положить

<7J.

TO вероятность того, что неравенство (34) будет удовлетворяться, стремится к Ф() при условии, что п бесконечно возрастает, т. е. к

При любом заданном tj можно всегда выбрать и достаточно большим, чтобы эта величина была сколь угодно близка к единице. Следовательно,

вероятность того, что - стремится к р при бесконечно возрастающем п,

стремится к единице. Возьмем например, р = q = 0,5. Из таблиц функции Ф()

находим, что если > 7,6 10, то вероятность того, что отличается от р

меньше, чем на 10~, больше, чем 1 - 10 .

9.1.15. Замечания о переходе от биномиального закона распределения к но5мальному. Вернемся к рассмотрению условий, позволяющих заменить биномиальный закон распределения, представленный формулами (21) или (26), нормальным законом, определяемым формулой (31).

При этом переходе мы допускаем несколько ошибок, а именно:

1) при замене истинного значения факториала его приближенным значением по формуле Стирлинга (при переходе от формулы (26) к формуле (27));

2) за счет пренебрежения бесконечно малыми высшего порядка при пере- ходе от формулы (27) к формуле (28) или к формуле (31);

3) при замене дискретной случайной величины непрерывной.

Можно показать, что основная часть этих ошибок пропорциональна

- , если р отлично от О, и пропорционально -2- , если р равно q. У npq -РЯ

Если п не слишком велико, а р близко к q, то кривая, представляющая нормальный закон распределения, пройдет очень близко от точек, изображающих биномиальный закон, кроме случаев очень больших значений отклонения.

Рассмотрим, например, случай п = 30, а Р - - (см. схему на рис. 9.5.

и таблицу в примере п. 9.1.11). Ординаты при этом были вычислены по биномиальному закону. Сравним их значения со значениями, полученными по формуле (28).

При малом отклонении х = 1 имеем

Язц(11)=г 0,1396 (биномиальный закон), (11) = 0,1389 (нормальный закон);

ошибка составляет 0,5%.

При большом отклонении х = 7 имеем

(5) = 0,002634 (биномиальный закон), (5) = 0,004970 (нормальный закон);

ошибка составляет 88%.

Если исследователь-статистик не располагает статистическими таблицами, содержащими очень большое количество результатов измерений, ему следует с большой осторожностью пользоваться нормальным законом распределения

Неравенство (34) можно написать в виде .

1 --

Таккак р очень мало, то следует принимать во внимание только числа k, малые по сравне! и:о с п.

Произведение 1--jl -. . . 1 -~~] весьма близко к единице. Это же относится к величине

1 --

близка к е . Отсюда получаем формулу

. Величина 1--очень

а \п

Pni = . (35)

Эта формула представляет собой закон распределения Пуассона,

В случае, если п бесконечно возрастает, формула (35) имеет своим пределом нормальный закон распределения. Введя математическое ожидание чисел k, можно написать эту формулу в виде

, . ; , p,{k)==-. (36)

и только для малых значений отклонений в случае, когда вероятности р а q пе слишком отличаются друг от друга. Следует также помнить, что хвосты кривой Гаусса, соответствующие большим отклонениям, вевсе не представляют собой в этом случае биномиальный закон. Напротив, физик, который исследует столкновения молекул или электронные флюктуации, будет все время иметь дело с очень большими числами п и сможет всегда отождествлять биномиальный закон распределения с нормальным законом, за исключением, однако, случая очень малой вероятности р.

Действительно, рассмотрим случай, когда р значительно отличается отд. При этом точки, изображающие биномиальный закон распределения, не находятся на кривой Гаусса на любом участке этой кривой. Отличие будет тем больше, чем больше р будет отличаться от 9 и чем меньше будет и. Однако, если даже п - большое число, нельзя отождествить оба эти закона в случае крайне малой вероятности, как это встречается в физике.

Если, например, =:10~ а 9 = 0,999999, то пренебречь величиной можно, только если п будет порядка Ю.

Vnpq

Полезно было бы найти промежуточный закон распределения для случая очень малых вероятностей р. Конечно, закон этот должен приближаться к нормальному закону распределения, если п бесконечно возрастает.

9.1.16. Закон распределения Пуассона. Пусть р - вероятность осуществления события А. Предполагаем, что эта вероятность очень мала. Наивероятнейшее число осуществлений события А равно, как мы уже видели, пр-\- р или, приближенно, пр.

Биномиальный закон распределения

Рп{к) = Сгр\1-рТ-

может быть написан, если положить а = пр, в виде