Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу yP, = (J+l)P,+i, yPs-i = sP,. Решая эту систему, можем выразить все Pj через Р: 1 - уРо- Pi ~ Ро..... 0.....Ps - Pq- Предполагаем, что у нас нет ожидающего устройства, тогда единственно возможные случаи это - занятость 0. 1, 2, .... s коммутаторов. При этом po + Pi+ +/.= 1. Если положить 2, Если число занятых коммутаторов в момент t - dt равно 1 (вероятность Pi+i), то в момент t их будет /, если один коммутатор освободится (вероятность {i-\-\)dt). Это также единственно возможный случай, если пренебречь величинами порядка выше dt. Следовательно, общая вероятность будет P,{i+\)dt. Все другие варианты, при которых происходит переход от числа / коммутаторов, занятых в момент t-dt, к числу i коммутаторов, занятых в момент t, причем i и j отличаются больше, чем на одну единицу, приводят к вероятностям, которые имеют величины порядка более высокого, чем dt. Ограничиваясь бесконечно малыми первого порядка, можем написать Pi = P,{\-ydt - t dt) Pi y dt-Pi,{i-rl) dt ИЛИ (у Н-оP, = уЯ, 1 + (/Н-l)P+i- Так как число занятых коммутаторов не может быть отрицательным, то первое уравнение (г = 0) имеет вид . . yPo = Pi- Таким образом, получаем систему, уравнений ; yPoPv (y+l)Pi = yP, + 2P2, (y + i)Pi = yPi-i + ii-h)Pi+i. (y + s-l)P ,==yP, ,-{-sP,. Если заменить г-е уравнение суммой первых i уравнений, то система упростится и примет вид уР.Рг. уР, = 2Р Эти формулы называются формулами Эрланга. Так как - вероятность того, что абонент найдет все коммутаторы уже занятыми, то в среднем имеется уР напрасных вызовов. Положим теперь, что имеется ожидающее устройство. При этом пусть Pj - вероятность того, что накопилось J вызовов в ожидании. Вычисление, аналогичное вычислению Р, дает, если опять пренебречь бесконечно малыми порядка выще первого: yp,=sp[, .: Pi=ipi yPj = sP]+. . Pj-dJPo- Индекс j в действительности не может возрастать до бесконечности; его наибольшее значение р&вно числу а абонентов. Вероятность Pq того, что имеется нуль вызовов в ожидании, равна, очевидно, вероятности Р того, что все коммутаторы заняты. Сложив вероятности для всех возможных случаев, имеем Р1+Р2+ +Ps + Pl + P2+ +Р}+ ... =1. Если ввести в это равенство найденные выше значения и Pj и воспользоваться условием P = Ps, то получим А+Ь+ +(!)+ ]=> Сделаем предположение, что у < s, т. е. что среднее число вызовов меньше числа ком.мутаторов. Тогда выражение в квадратных скобках во вт.о-ром члене левой части представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая равна s - y Если положить 1! (s -1)! i! s - y P, = D, 0 = . р = \ Найдем вероятность того, что для некоторого абонента промежуток времени ожидания освобождения коммутатора больше z. Примем гипотезу, что вызовы в ожидании обслуживаются в порядке их поступления. Абонент сможет набрать свой номер, когда у-разговоров будут закончены.. Вероятность того, что за время т закончится ровно а разговоров, будет равна Вероятность того, что закончилось любое число разговоров, меньшее или равное J, оудет Следовательно, веооятность того, что время ожидания будет больше, чем т, представится выражением Подставляя выражение для Pj в написанную формулу, получаем или, подробнее. или, наконец. Так как оо - со то для и получим
|