Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 [ 197 ] 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

yP, = (J+l)P,+i, yPs-i = sP,.

Решая эту систему, можем выразить все Pj через Р:

1 - уРо- Pi ~ Ро..... 0.....Ps - Pq-

Предполагаем, что у нас нет ожидающего устройства, тогда единственно возможные случаи это - занятость 0. 1, 2, .... s коммутаторов. При этом

po + Pi+ +/.= 1.

Если положить

2, Если число занятых коммутаторов в момент t - dt равно 1 (вероятность Pi+i), то в момент t их будет /, если один коммутатор освободится (вероятность {i-\-\)dt). Это также единственно возможный случай, если пренебречь величинами порядка выше dt. Следовательно, общая вероятность будет

P,{i+\)dt.

Все другие варианты, при которых происходит переход от числа / коммутаторов, занятых в момент t-dt, к числу i коммутаторов, занятых в момент t, причем i и j отличаются больше, чем на одну единицу, приводят к вероятностям, которые имеют величины порядка более высокого, чем dt. Ограничиваясь бесконечно малыми первого порядка, можем написать

Pi = P,{\-ydt - t dt) Pi y dt-Pi,{i-rl) dt

ИЛИ

(у Н-оP, = уЯ, 1 + (/Н-l)P+i-

Так как число занятых коммутаторов не может быть отрицательным, то первое уравнение (г = 0) имеет вид

. . yPo = Pi-

Таким образом, получаем систему, уравнений

; yPoPv

(y+l)Pi = yP, + 2P2,

(y + i)Pi = yPi-i + ii-h)Pi+i.

(y + s-l)P ,==yP, ,-{-sP,.

Если заменить г-е уравнение суммой первых i уравнений, то система упростится и примет вид

уР.Рг. уР, = 2Р



Эти формулы называются формулами Эрланга. Так как - вероятность того, что абонент найдет все коммутаторы уже занятыми, то в среднем имеется уР напрасных вызовов.

Положим теперь, что имеется ожидающее устройство. При этом пусть Pj - вероятность того, что накопилось J вызовов в ожидании. Вычисление, аналогичное вычислению Р, дает, если опять пренебречь бесконечно малыми порядка выще первого:

yp,=sp[, .: Pi=ipi

yPj = sP]+. . Pj-dJPo-

Индекс j в действительности не может возрастать до бесконечности; его наибольшее значение р&вно числу а абонентов. Вероятность Pq того, что имеется нуль вызовов в ожидании, равна, очевидно, вероятности Р того, что все коммутаторы заняты. Сложив вероятности для всех возможных случаев, имеем

Р1+Р2+ +Ps + Pl + P2+ +Р}+ ... =1.

Если ввести в это равенство найденные выше значения и Pj и воспользоваться условием P = Ps, то получим

А+Ь+ +(!)+ ]=>

Сделаем предположение, что у < s, т. е. что среднее число вызовов меньше числа ком.мутаторов. Тогда выражение в квадратных скобках во вт.о-ром члене левой части представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая равна

s - y

Если положить

1! (s -1)! i! s - y

P, = D,



0 = .

р = \

Найдем вероятность того, что для некоторого абонента промежуток времени ожидания освобождения коммутатора больше z. Примем гипотезу, что вызовы в ожидании обслуживаются в порядке их поступления. Абонент сможет набрать свой номер, когда у-разговоров будут закончены.. Вероятность того, что за время т закончится ровно а разговоров, будет равна

Вероятность того, что закончилось любое число разговоров, меньшее или равное J, оудет

Следовательно, веооятность того, что время ожидания будет больше, чем т, представится выражением

Подставляя выражение для Pj в написанную формулу, получаем

или, подробнее.

или, наконец.

Так как

оо - со

то для и получим



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 [ 197 ] 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251