s - y

7 = 0

Итак, вероятность Р(х) равна

gy-s)t

s - y

Поэтому средняя продолжительность ожидания (ее математическое ожидание) равна

- / iP{z)di =

(s l)!(s-у)2

Числовой пример. Пусть имеется s=10 коммутаторов в распоряжении группы абонентов, делающих в среднем 2 вызова в минуту. При этом средняя продолжительность разговора равна 2 минутам.

Если принять 2 минуты за единицу времени, то мы получим в среднем у = 4 вызова за единицу времени. Вероятность занятости i коммутаторов будет

(S-1)!

si S - у

Умножим числитель и знаменатель этого выражения на е-У и обозначим через А {у; i) величину

Выражение для Р

Л (у; i)re-y.

А{у; I)

А{у;0)+А(у: 1)+ ... +Л(у;5-1)

можно легко вычислить с помощью таблицы Пуассона. В выбранном нами примере получим

s - y для закона

A{y;s}

распределения

Л(4; 0) = 0,0183

А (4; 1) = 0,0732

Л(4; 2)=0,1465

Л (4; 3) =0,1953

Л (4; 4) = 0,1953 Л (4; 5) = 0.1562 Л (4; 6) = 0,1042 Л (4; 7) = 0,0595

Л (4; 8) = 0,0297; Л(4; 9) = 0.0132; Л (4; 10; = 0,0053.

Отсюда

и, следовательно.

= 0,9994 1,

ТО формула приводится к виду

Средняя продолжительность ожидания будет равна

,=-Д = 0.0015.

Так как мы взяли единицу времени, равную 2 Минутам, то

0,0015 2 60 = 0,18 сек.

9.1.19. Согласование наблюделншх данных с теоретическим законом распределения. Разложение в ряд Грата -Шарлье. Одним из основных применений теории вероятностей для кшироля производственного процесса является оценка расхождения между двумя законами распределения. Один из них р{х) мы примем за теоретический, а другой закон (л;) будем исследовать. Обычно этот второй закон распределения является статистическим. Нашей задачей является выяснение вопроса о том, согласуется ли статистический закон распределения с данным теоретическим.

Закон р {х) всегда соответствует уже известному характеру совершения событий. Если бы нам удалось найти, степень общности между этими двумя законами, мы смогли бы сделать заключения о скрытом еще от нас характере явления, при котором возникновение событий подчиняется исследуемому закону.

Если, например, (л;) представляет собой закон распределения измерений силы тока, возникающего при нагреве в водороде серии сопротивлений, и если можно удовлетворительным образом связать закон (л:) с нормальным законом распределения, то от инженера, отвечающего за производство, требуется только вести производство так, чтобы рассеивание и среднее значение X контролируемой величины оставались в пределах допусков.

Действительно, сродство с нормальным законом распределения укажет ему, что величина х представляет собой случайную величину, и поэто.му рассеивание величины л; вызывается не систематическим дефектом установки, а лишь влиянием большого числа малых ошибок, действующих в любых возможных направлениях.

Рассмотрим общий случай. Пусть q{x) - исследуемый закон, а р{х) - теоретический. Положим

qix)=p{x) + a,p(x)+ ... +а р \х). (37)

Если коэффициенты aj.....а малы, то закон р{х) хорошо представляет

закон q{x). Пусть ф(и) и ф(м) представляют собой соответственно характеристические функции законов q (х) и р (х). Положим

- = g-( ). <j> (и) \ ->-

Тогда g- (0) = 1, так как коэффициент = 1.

Разложим g{.u) по возрастаюшим степеням величины (- Ju):

= g(u)==\-aju+- ... +( l) a (y ) -i- ...

Тогда

ф(и) = f eJp(X)[1 -aJu + ... -h(~l) a (Ju) + ...]dx.

- CO

Интегрируя no частям общий член ряда, легко заметим, что

со со

/ eJUч)p{.x)dx=- f p\x)dx;

2 = х2.

Действительно, если это окажется невозможным, то сравнение q(x) и р(х) будет бесполезным. Считая эти условия выполненными, можем написать

пи) 1-~-+-ииГ+ ...

i F. . + lx3(y )3-f ...

f(u)- 6 24 - 120 и чг ....

откуда получаем коэффрщиенты

aj = 0, с.2 = 0.

а,= (х*~Х*),

ад = - [х5 - Х - 10x2 (3 . 3)1,

повторяя п раз интегрирование по частям, получим

со .00 ,

J е- (уи/ р (X) dx = (-1) I р (х) djc.

-СО -со

откуда .:

. ф( = J eJ -lp(x) + a,p{x)+ ... +a ff ix)-\- ...]dx.

- CO

Так как, по определению,

ф/й>= J e (x)dx,

видим, что с. = а . Коэффициенты разложения в формуле (37) выражены, таким образом, через коэффициенты разложения g{u) - отношения двух хаг рактеристических функций - по возрастающим степеням (-Ju):

... +( !) сс(у ) + ...

Пусть х и - моменты порядка г соответственно для законов распределения q (х) и р (х). Тогда следует сначала выбрать закон р (х) таким образом, чтобы математические ожидания х и совпадали. Если отнести оба закона к этому общему математическому ожиданию, то

Х = х=0.

Кроме того, нужно выбрать закон р (х) таким образом, чтобы для него дисперсия совпадала с дисперсией для закона qix):