Главная
>
Дифференцирование и интегрирование по аргументу Исключив переменную V из этих двух соотношений, получаем зависимость Z=:f(z), которая устанавливает непосредственное соответствие между точкой плоскости Z-и точкой плоскости Z. Следовательно, можно сложные отображения разложить на последовательно применяемые более простые отображения. Пример 1. Дано отображение У = c[i (2), устанавливающее соответствие между точкой х-{-JyQ= Zq и вещественной точкой d = ф(д), а также между кривой 7 и мнимой осью плоскости V. Известно (п. 1.4.2, ж)), что поле, созданное заряженным проводом, имеющим след в точке d, несущим линейный, заряд q и проходящим на расстоянии d параллельно бесконечной плоскости, следом которой является мнимая ось плоскости V, описывается преобразо-ваыием -7 ы V - d И если прямая со следом в толчке Zq на плоскости z находится перед заряженной цилиндрической поверхностью, поперечное сечение которой представляет собой кривую ]f, то линейный заряд q, несомый этой прямой, создает электростатическое поле, силовые и эквипотенциальные линии которого могут быть найдены с помощью преобразования Ф(г) + Ф(го) е Пример 2. Даны две цилиндрические поверхности, поперечные сечения которых в плоскости z представляют собой кривые С и Пусть V = <\i{z) - отображение, переводящее кривые С и соответственно в отрицательную и положительную части вещественной оси плоскости V. Рассмотрим отображение Z=felnV. Положив V = reJ, имеем Положительная часть вещественной оси плоскости V соответствует значению К = 0, т. е. полной вещественной оси плоскости Z. Отрицательная часть вещественной оси плоскости V соответствует значению К=йл, т. е. прямой, параллельной вещественной оси плоскости Z и проходящей от нее на расстоянии йл. Следовательно, полное преобразование Z=kln<!{z) отображает кривые С и -( на две прямые К=йл и У = 0. Значение F на С равно krz, значение К на у равно нулю. Таким образом, с помощью найденного преобразования можно определить конфигурацию силовых и эквипотенциальных линий электростатического поля, созданного двумя цилиндрами (поперечные сечения их представляют собой кривые С и 7), при разности потенциалов между ними, равной к-к. ХАЛ. Отображение Шварца. Рассмотрим функцию (Z -Л) ~\ где Л - вещественное число, а а - число, меньшее единицы. Введем функцию z, удовлетворяющую дифференциальному уравнению довательно, аргумент числа (X - АТ -Tt(cx-7) -ОО д +01У - Рис. 1.47. Рис. 1.48. будет скачкообразно изменяться на --к (а-1), когда X пробегает прямую V = 0. Точка Z при этом опишет две полупрямых, образующих между собой такой же угол -it (а-1) в плоскости z, ибо dz dx4- J dy dy -jz = dX = Ж соответственно внутренний угол между этими прямыми равен rza (рис. 1.48). Ясно, что точке А в рассматриваемом отображении соответствует точка а. Рассмотрим теперь замкнутый многоугольник с внутренними углами Из рассуждений, приведенных выше, вытекает, что с помощью преобразования § (Z - A,p-\Z-A2r(Z-AS -- осуществляется отображение оси К = О на многоугольник плоскости z с углами при вершинах, равными TOj, irag.....ita . Величины Ai, A (Ai<, ... < Л ), соответствующие различным вершинам многоугольника, подлежат, определению. В силу замкнутости многоугольника значения aj.....а связаны между собой равенством + ... -I-1йя = т (ге - 2) SK-1) = --2. (16) Рассмотрим точку Х(У - 0), перемещающуюся по вещественной оси плоскости Z от -оо до А. Согласно (16) можно принять, что для этих Z аргумент величины (X - Л/.- {X - Л/2-> ... (X - л>-1 равен нулю. Тогда точка z будет перемещаться по вещественной оси плоскости Z от точки Cq, соответствующей Х = - оо. Положение точки % зависит от постоянной интегрирования уравнения (Х-А,р-\Х~А2р- ...{X-AS---UycTb точкам Aj{k=r.\, .. .., п) вещественной оси плоскости Z (рис. 1.49) соответствуют точки плоскости z, являющиеся вершинами рассматри-. ваемого многоугольника, а точка X продолжает перемещаться вдоль вещественной оси плоскости Z. При переходе точки X через Л, аргумент правой части выписанного выше дифференциального уравнения изменяется на Предположим, что точка Z пробегает ось Y - 0 плоскости Z (рис. 1.47). Найдем кривую, которую описывает соответствующая точка плоскости z. Если точка X расположена, левее точки А, то аргумент отрицательного числа X- А равен it. Если точка X правее точки А, то аргумент положительного числа X - А равен нулю. Сле- Рис. 1.49. при переходе точки X через А2 аргумент z получает приращение -тг(а2- 1) и точка z переходит в на новую прямую, образующую с прежней угол та и т. д. Следовательно, точка z описывает ломаную линию с углами при вершинах ttj, ttg, ..., а, измеряемыми в полуокружностях. Эта ломаная линия образует замкнутый многоугольник. Действительно, когда точка X пробегает отрезок от точки Л до оо, точка z описывает прямую, образующую с положительным направлением вещественной оси угОл -2(°/г- 1)=2л, т. е. крайние стороны ломаной линии параллельны вещественной оси. Отметим, далее, что вершины и а расположены на вещественной оси плоскости z. Остается определить числа А, . . ., Л так, чтобы они действительно являлись образами вершин заданного многоугольника. Это обстоятельство составляет главную трудность при практическом использовании отображения Шварца. Доказывается, что можно произвольно, выбрать образы трех вершин многоугольника (т. е. три числа из Л Л ), а остальные числа А определяются единственным образом. Рассмотрим способ их отыскания. Пусть задан многоугольник с вершинами а, ..., а . Через вершины а и а, проводим вещественную ось плоскости z. Пусть углы при вершинах многоугольника itaj.....Тогда искомое преобразование имеет вид z = k J(Z-А) ... (Z-Ajn-dZ. Число Zq и три числа из А, ..., Л выбираются произвольно. Число k и п - 3 числа из Л Л следует выбрать таким образом, чтобы сто- роны получаемого многоугольника были равны сторонам данного многоугольника; п-3 числа Л определяются через интегралы. Трудность вычислений быстро возрастает вместе с числом сторон. Однако в физике отображение Шварца очень редко применяется к многоугольникам с числом сторон, большим 4. Легко заметить, чтр преобразование Шварца отображает верхнюю полуплоскость Z на внутренность многоугольника плоскости z, тогда как нижняя полуплоскость Z соответствует внешности многоугольника плоскости z. Пример 1. Найти отображение треугольника, расположенного в плоскости Z, на вещественную ось плоскости Z. Если углы треугольника равны -ка, -к, it-j-, то функция, осуществляющая требуемое отображение, и.меет вид z= f (Z - AY-iZ - Bf-iZ-Cy-dZ = j f{Z)dZ. (17) Zo z (a-l) + (fi-l) + (T-l)-=-2. (18) --it(ai-1). Соответственно этому при переходе через аргумент z, равный до этого нулю, также получает приращение -it(aj-1), т. е. в а, точка переходит с вещественной оси плоскости z на прямую, образующую с этой осью внутренний угол ка (ср. рис. 1.48). Совершенно аналогично
|