равно

Это наиболее вероятное значение X есть среднее арифметическое из всех результатов измерений. Таким образом, оправдывается используемое для него-обозначение *).

Можно без труда подвергнуть критике рассуждения, связывающие принцип наименьших квадратов с нормальным законом Гаусса. Мы не станем здесь останавливаться на этом довольно тонком вопросе и отошлем читателя к специальной литературе!)**).

9.1.23. Линейная комбинация ошибок. Рассмотрим случайные переменные х, Х2,----л; , подчиняющиеся нормальному закону распределения Их

средние квадратические ошибки равны соответственно Oj, а, ., с . Составим

*) Среднее арифметическое значение X представляет собой несмещенную оценку математического ожидания случайной величины X.

) См. Трактат по теории вероятностей под ред. Э. Бореля, т. [, раздел Ошибки и наименьшие квадраты Р. Дельтейля, стр. 56, и др.

**) В советской литературе обоснование и сущность способа наименьших квадратов изложены в ряде работ, см., например, Ю. В. Л и н н и к. Метод наименьши:! квадратов и основы теории обработки наблюдений, Физматгиз, 1962.

Вероятность того, что ошибка будет заключаться между +а, равна

f е-- dx = Ф {ha).

9.1.22. Способ наименьших квадратов. Пусть произведено п измерений величины X, величины х, х.....х представляют собой соответствующие ошибки. Вероятность того, что ошибка х заключена между лг, и Xi + dx, равна

, h

Вероятность того, что при п измерениях допущено п ошибок, имеющих величины Xj, х, .... х соответственно, поскольку речь идет о независимых событиях, равна

П P.dx, = (-j е- (-1- - dx,... dx . т

Максимум произведения Р1Р2 ... р будет соответствовать минимуму суммы

х1+ ... +х2+ ... -+-Х1.

Этот вывод известен под названием принципа наименьших квадратов. Он означает, что наиболее вероятное значение величины X, полученное в результате п равноточных измерений, обращает в минимум сумму квадратов ошибок.

Наиболее вероятное значение X, которое должно обеспечить минимум, суммы

iX,-Xf+ ... +(Х,-ХУ.

I ,2.2.,2

Ч ! (40)

Составим линейную комбинацию

X = XjXi +...-(- -k.xi (-... (- \х .

Характеристическая функция закона, которому следует случайная величина х, будет равна произведению функций, подобных (40), как это видно из формулы (20), иначе говоря.

Следовательно, x следует нормальному закону распределения со средней .квадратической ошибкой

а ~ VUai -(- . :. -f- Xfa; +...-(- Xa .

Если перейти теперь к мере точности, то

1 X? \\

9.1.24. Точность группы измерений. Если произведена группа п измерений то очень важно уметь определить величину, которая позволила бы !охарактеризовать ожидаемую точность результата или, что то же самое, найти приближенное значение сшибки этого результата.

Итак, пусть

х~ = Xi - X

есть ошибка j-ro измерения. Если сложить все ошибки, то результат деления на п даст

re re

Это уравнение с учетом формулы (39) принимает вид

Значит, выражения для отклонений у могут быть написаны в виде

у, = Х,--Х=.Х,-Х-\х,= х,-\

Т1оэтому п соотношений для у запишутся следующим образом: ге~1 1 1 1

п-1 iv

(42)

комбинацию XjXj. Эта переменная будет следовать нормальному закону распределения, средняя квадратическая ошибка которого равна Ха, а харак--теристическая функция выражается формулой

9.1] случайная величина 619

Итак, отклонения представляют собой линейные комбинации ошибок. Следовательно, в силу формулы (41), отклонения подчиняются нормальному закону распределения с мерой точности k, определяемой соотношением

1 1 [-/,;- 1\2 1 , 1

k~ hW П j и2 и2

откуда

9.1.25. Наивероятнейшее значение меры точности. Если дана совокупность п измерений Х, искаженных ошибками лг-, то наиболее вероятное значение величины h должно, в силу формулы (38), обратить в максимум величину

Поэтому наиболее вероятное значение tj величины h должно обратить в нуль производную этого выражения, откуда следует

73 =

V 22х?

Таким образом, нормальный закон распределения полностью определен. Точность совокупности п измерений определяется одной из следующих трех величин.

1. Средняя арифметическая ошибка:

Приближенноезначение величины равно 2. Средняя квадратическая ошибка:

\xi\

(45)

3. Срединная ошибка (вероятная ошибка, медианная ошибка). Это такая ошибка, которая с одинаковой вероятностью может быть как превзойдена, так и не достигнута. Это определение выражается равенством

Ф(р) = 0,5,

откуда

0,476936 р .vcnoc

е =-= -, где р = 0,476936 ...

Все три величины е, , е связаны между собой соотношениями:

= р /2 = 0,6745 е е = р = 0,8453 е, ,

. е, = 1,1829 е,., = 0,7979 е , е,= 1,4826 £;,= 1,2533 е .

Геометрический смысл этих величин очень прост: е, - это абсцисса прямой, параллельной оси Оу и разделяющей площадь А, заключенную между осями координат и кривой Гаусса при л;>.0, на две равные части; - абсцисса