У И (П-1)

- , 6 = 0,6745 е .

Формулы (46) и (47) более удобны, чем формулы (44) и (45); они выражают ошибки Е как функции отклонений у,-, так как у - это известные из опыта величины, чего нельзя сказать об истинных ошибках х. Однако практически даже при малых значениях п (порядка десяти) между этими двумя группами формул большой разницы нет.

Наиболее вероятное или среднее арифметическое значение следует нормальному закону распределения с мерой точности, определяемой формулой (41), где = -. Следовательно, эта мера точности равна

она изменяется пропорционально квадратному корню из числа измерений. Казалось бы, что, увеличивая число измерений, можно до бесконечности увеличивать точность. Однако если теоретически можно получить еще одну значащую цифру, перейдя от одного единственного измерения к 100 измерениям, или от группы в 10 измерений к 1000 измерениям, то практически получение такого выигрыша весьма сомнительно. Действительно, следует опасаться, что при тысячном измерении измеряемая физическая величина будет уже. не совсем та. что вначале. Другими словами, в условиях опыта могут иметь место небольшие изменения, которые воздействуют на результат неслучайным образом **). Это более чем вероятно, так как серия в 1000 измерений должна продолжаться значительное время. Поэтому не принято делать большие серии измерений и число п редко бывает больше 10.

Все сказанное хорошо согласуется с простым здравым смыслом. Лучше усовершенствовать, экспериментальный метод, чем увеличивать число измерений; 10 хороших измерений полезнее, чем 1000 посредственных.

9.1.26. Вес наблюдения. В некоторых случаях мы бываем вынуждены пользоваться сериями наблюдений различного происхождения. Они могут быть получены разными, не одинаково умелыми экспериментаторами, или методами, имеющими различную точность, или в разное, не одинаково благоприятное время. Для учета характера этих различных источников придают больший

*) Термин срединная ошибка имеет тот смысл, что при большом числе опытов в среднем половина значений случайной величины X будет отклоняться от X меньше, чем на ер, а половина больше.

**) Так называемое сползание центра рассеивания .

центра тяжести этой площади; e - радиус инерции плошади А или абсцисса точки перегиба кривой Гаусса.

Величины бр, е, изображены на рис. 9.6. Любая из них может служить для характеристики точности группы опытов. Удобно определять e и Bp на основании величины s, , которую легко вычислять. Чаще других пользуются величиной е, по той простой причине, что она меньше двух других *).

Величины е, е, е, легко получить как функции отклонений у. На основании системы уравнений (42) и формулы (43) получим

- - <46)

V дХ ! IS dY ] +

9.1.29. Эмпирические формулы. Пусть z - физическая величина, зависящая от другой величины х. Изобразим в плоскости xOz точки, представляющие собой пары значений л;-, 2,-, соответствующие некоторой таблице измерений. Если эти точки расположены достаточно близко одна от другой, то через них можно провести непрерывную кривую, представляющую экспериментальную функцию

,;вес одним из них перед другими. Чтобы правильно оценить преимущество более точных наблюдений, полученный из опыта результат умножают на коэффициент, который должен быть тем больше, чем больше вес этого наблюдения. Естественно, что знаменатель формулы для вычисления среднего значения будет суммой всех весов .

Пзсть со,- - вес наблюдения Х(. Тогда формула для среднего или наиболее вероятного значения примет вид

Формулы С44) - (47) должны быть соответственно изменены.

Понятие веса фигурирует особенно часто в астрономии, где приходится пользоваться измерениями, выполненными в различных пунктах и при различных обстоятельствах. В электротехнике этим понятием пользуются мало, и мы не будем здесь на нем останавливаться.

9.1.27. Критерий ошибочного наблюдения. Предположим, что во время опытов наблюдатель совершает ошибку, обычно по рассеянности. Каким образом в таблице измерений, где фигурирует п результатов наблюдений, распознать неверный результат? Здесь можно применить следующее полезное эмпирическое правило. Нужно вычислить отклонения от среднего значения, соответствующие группе интересующих нас наблюдений. Если какое-либо из отклонений превзойдет срединную ошибку более чем в 5 раз, то соответ-ств5Щ)щее наблюдение следует отбросить. При этом срединная ошибка вычисляется без учета измерения, подвергнутого сомнению. Действительно, пусть X - соответствующая ошибка. Отождествим ее с отклонением от среднего значения. Если она в 5 раз больше срединной ошибки, то

rix 2,327,

потому что

. 7jep = 0.4769.

Но i

Ф (2,327) =0,999.

Следовательно, вероятность такой большой ошибки равна 0.001. Такой сомнительный результат следует отбросить.

9.1.28. Срединная (вероятная) ошибка функции. Пусть даны X,Y, ... - средние значения результатов измерений некоторых физических величин X, Y, . . . п е, е.у, ... - соответствующие срединные ошибки. Срединная ошибка е функции

f{X, К, ...)

будет, очевидно, равна

Часто задача состоит в том, чтобы придать функции /(лг) аналитическую форму. Во многих случаях для этой цели выбирают полином вида

A-i-Bx + Cx-i-Dx-f- ...

или показательную функцию

Выбор этот в большинстве случаев диктуется теоретическими соображениями и тесно связан с измеряемым явлением. Мы не будем здесь рассматривать вопрос о выборе вида функции.

Пусть, например, измеряется ток нась1щения z диода как функция абсолютной температуры х катода. Из теоретических соображений следует, что этот ток, отнесенный к единице поверхности катода, связан с абсолютной температурой зависимостью

z = Axe .

После того как аналитическая форма функции выбрана, остается определить наиболее подходящие значения параметров функции с помощью таблицы результатов произведенных измерений.

Разберем сначала случай, когда выбранная функция представляет собой полином. Эта задача решается очень просто элементарным методом, дающим превосходные практические результаты. Пусть п - количество измерений Xi, Zf, а т - степень полинома. Таблица измерений позволяет получить п линейных уравнений с т-\- I неизвестными, которыми являются коэффициенты Л, В, ... Предположим, что т <С п.

В большинстве случаев число п гораздо больше, чем те-f-l, так что количество уравнений больше количества неизвестных. Предположим, что оно равно 7(т-\-1). Тогда п измерений делят на m+l группу по 7 измерений в каждой. Затем 7 уравнений каждой группы складывают и получают, таким образом, т-\-1 линейных уравнений с /и-f-l неизвестными, которые можно решать обычным способом. Существенное возражение против этого простейшего метода состоит в том, что существует способов группирования п уравнений в т-\-1 группу по 7. Это возражение, теоретически значительное, не имеет значения на практике, так как результаты, которые можно получить при различном группировании уравнений, очень мало отличаются друг от друга.

Рассмотрим общий случай. Пусть выражение

z== fix. А, В, С, ...)

представляет собой аналитическую форму выбранной эмпирической зависимости. Число т неизвестных постоянных меньше числа п сделанных измерений. Предположим, что постоянные определены. Тогда должно существовать отклонение у,- измеренной величины Zi от величины z. - f (х. А, В, С, .. вычисленной при найденных значениях постоянных

причем принцип наименьших квадратов требует, чтобы выражение

у2 (48)

было наименьшим.