Предположим, что методом эмпирического подбора или путем заМеров-на экспериментальной кривой z = fix) нам удалось найти более или менее удовлетворительные значения Aq, Bq, ... Мы можем воспользоваться способом наименьших квадратов для нахождения малых величин а, В.....

на которые отличаются наивероятнейшие значения постоянных А, В, ... от их ориентировочных значений Aq, Bq, ... :

А = Ао + а, 5 = 5о+В. ...

Если пренебречь частными производными высших порядков, то разность-

fiXi, А, В, С, ...) = Zi - y,

запишется в виде

f(x. Aq, Во, + а

-У1-

(49>

Если обозначить

то уравнение (49) принимает вид

Х.а--[А,.ВН- ... -(р.--у. = 0. Для выражения (48) будем иметь

:.(X.a+t,B4- ... -fif-

(50)

Условие минимума этой суммы можно получить, приравняв нулю частные производные выражения (50), взятые по а, р, ... При этом получим систему уравнений

(51)

Уравнения (51) называются нормальными. Число их равно числу неизвестных а, fl.....которые можно из этих уравнений определить.

9.2. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ ) *)

9.2.1. Введение понятия случайной функции на конкретно]и при-]иере. Мы уже ознакомились с понятием случайной величины. Вернемся к нему для того, чтобы лучше уяснить себе, что такое случайная функция.

) Раздел, посвященный случайным функциям, был отредактирован .А.ндре Блан-Лапьерром. Для более подробного ознакомления читатель может обратиться к книге А. Блан-Лапьерра и Форте Теория случайных функций. Приложения к различным явлениям флуктуации , изданной в собрании математических трудов для физиков под редакцией Т. Дармуа.

*) По теории случайных функций имеется ряд трудов советских авторов. Основные из них приведены в конце главы в списке литературы.

Будем исходить из классического примера игры в кости. Рассмотрим некоторую категорию испытаний С, которая представляет собой совокупность следующих испытаний. В пакет кладут кость и после встряхивания выбрасывают кость на стол. После этого отсчитывают цифру на верхней грани. Результат каждого опыта - некоторое положение кости на столе. Это положение определяет численное значение X - цифру на верхней грани. X - есть случайная величина, определенная по категории испытаний С. Случайная величина, определенная по известной категории испытаний С, представляет собой численную переменную X, значение которой определяется результатом R каждого испытания. Определяя вероятность по категории испытаний С, имеют в виду вероятность F {х того, что результат индивидуального испытания приводит к численному значению X < Xq. Эта функция F представляет собой функцию распределения случайной величины X по категории испытаний С.

В предыдущем примере мы поставили в соответствие с результатом R испытания некоторое число. Но можно было бы поставить в соответствие с ним математическую категорию любой природы, в частности некоторую функцию. Например, условимся ставить в соответствие каждому значению Х случайной величины X, рассмотренной выше, функцию х времени t, определяемую выражением х{1)= Xt. Тогда результат каждого испытания определит некоторую функцию времени в интервале -оо<<-(-оо. Обобщая предыдущее определение, можно сказать, что х {t) - это случайная функция времени по категории испытаний С. Случайная функция по известной категории испытаний С-это функция известного параметра t, полностью определяемая результатом каждого испытания.

В нашем элементарном изложении будут рассматриваться только случайные функции с вещественными значениями. Конечно, вовсе не обязательно, чтобы параметр t мог меняться от -оо до -f-oo. Случайная функция величины t может быть определена только для некоторых значений t (например, только в интервале а или только для целых значений t). С другой

стороны, категории испытаний в большинстве случаев неизмеримо более сложны, чем те, которые здесь рассматривались. В частности, число возможных результатов может быть бесконечным и даже следовать из бесконечного числа осуществленных результатов R, R, .... полученных для бесконечного количества категорий испытаний Cj, Cg. ..

Приведенный пример случайной функции имеет то преимущество, что он прост, но в то же время он слишксш прост и не позволяет сделать далеко идущих выводов. Рассмотренная выше схема допускает лишь очень ограниченное вмешательство случайности, так как случайная природа функции проявляется лишь через величину Х. В частности, знание значения х для какого-либо t Ф О ведет за собой знание х для всех значений t. Очевидно, что столь узкие рамки оставляют слишком мало возможностей для проявления случайной природы таких резко изменчивых и непостоянных явлений, как турбулентность жидкости или флуктуации электрических напряжений, происходящие за счет шумового фона.

Возьмем другой пример. Рассмотрим частицу, способную перемещаться по оси Ох и находящуюся в начале координат при = 0. Предположим, что скорость этой частицы может принимать значения только -(-1 или -1 и меняется только в моменты О, 1, 2, 3.....где она каждый раз с равными вероятностями может принять значение или -1. Другими словами, в промежутке времени n.t п-\- I {п равно либо целому положительному числу, либо нулю) скорость представляет собой случайную переменную которая с одинаковой вероятностью может принимать зна-

4 5 е 7 t

чения или -1. Кроме того, случайные переменные v, v ..., v, . .. независимы. Обозначим теперь через x{t) абсциссу частицы в момент t. Можно составить себе представление о свойствах случайной функции x(t) по рис. 9.7, где изображена частная реализация функции x(t). Здесь одновременно изображены и случайные значения членов последовательности

Vq, V , v , .... и реализация функции x{t), полученная на основании

этой последовательности. Такой способ приводит к последовательному составлению функции x{t) и допускает вмешательство случайности, не ограниченное во времени. Каждая реализация X (t) зависит от результатов бесконечного числа последовательных испы- v-/ таний El, Е2, .. - -, Е ... Конечно, [j ничто не мешает рассматривать эту бесконечную совокупность испытаний как одно суммарное испытание i из некоторой категории испытаний . xft) Тогда результат испытания i будет определять частную последовательность скоростей т. е. некоторую последовательность чисел -\-\ и -1, чередующихся в известном порядке. Рассмотренная схема случайного явления -2 представляет собой частный случай схемы, использованной при изучении явления турбулентности.

Рассмотрим теперь пример, взятый из электротехники. Здесь речь идет о флуктуациях, вызванных чистым дробовым эффектом в линейных усилителях. Если свести эту задачу к наиболее упрощенной схеме, то она будет выглядеть следующим образом. Дан линейный усилитель Ai, для простоты полагаем, что он не передает постоянной составляющей. Воздействуем на него постоянным током /. Следует ожидать, что на выходе ток усилителя будет равен нулю. В первом приближении это и наблюдается. Однако при более тонком исследовании можно заметить на выходе усилителя напряжение шума, более или менее беспорядочное. Если записать это напряжение, то получим некоторую кривую x = Xi(t), где t обозначает время.

Проделаем тот же опыт, не с одним усилителем, а с большим числом усилителей А А, Л , находящихся в одинаковых макроскопических условиях. Получим кривые xit), .... x(t). Они не тождественны

но исследователь легко обнаружит их сходство. Разница между ними вызывается случайным характером флуктуации, которые неизбежно требуют статистического подхода. Предположим для простоты, что эти флуктуации вызывает только электронная природа входного тока / (иными словами, пренебрежем собственными флуктуациями усилителя, чтобы не отвлекать внимания от флуктуации, вызванных входным током /). Влияние тока / на усилитель есть результирующая влияний отдельных электронов, образующих

7 -1

Рис. 97.

) Мы говорим о большом числе усилителей, потому что эксперимент не может йыть проведен с бесконечно большим числом приборов. Но мысленно мы полагаем, что число это достаточно велико, чтобы дать достаточно точное представление о том, что произошло бы при рассмотрении всех возможных макроскопически подобных усилителей . Как раз на такой бесконечной срвокупности (генеральной совокупности) и основана статистика.