при каждом испытании имеем

x(?) = sln(cD?H-cp); л;(о) = -sincp; у ( ) = sincp.

Итак, если t стремится к t, то х{€) в том смысле, как это понимается в анализе, стремится к - у {t. Разность х{€) - у (ff,) сходится при каждом испытании к - 2 sin s. Имеется, следовательно, нулевая вероятность того, что эта разность стремится к нулю. Это указывает на очень неопределенный характер сходимости в смысле Бернулли.

9.2.6. Сходимость по вероятности. Говорят, что случайная функция х (t} сходится по вероятности к случайной величине Xq при tt, если при любом е>0 вероятность того, что \x(t) - лтд] > е, стремится к нулю при ttQ. Это условие записывают в виде

nmP{lx{t) - Xo\>e}=0.

(55)

Такое определение сходимости имеет более ограничительный характер, чем предыдущее. В частности, из него следует, что если t->tr, то вероятность того, что отклонение \x(t) - лг больше любой конечной величины, становится все меньше и меньше - обстоятельство, не имевшее места в предыдущем случае. Можно, кроме того, показать, что сходимость по вероятности влечет за собой сходимость в смысле Бернулли, а обратное не имеет места.

Приведем пример, иллюстрирующий это определение и позволяющий представить себе его границы. Рассмотрим еще раз случайную величину ср, способную с равной вероятностью принимать все значения от О до 27г, и свяжем с ней случайную функцию, определенную при > О выражением

л:() = sin(l -cp) . (56)

где ш - определенная постоянная. Для некоторого фиксированного частного значения 9 соответствующая кривая имеет вид, представленный на рис. 9.13.

x(t)

J-

Рис. 9.13.

При -*4-оо x{t) стремится к очень малым значениям, за исключением все более узких интервалов, содержащих точки, для которых

-)- ср-kk

О {k - целые числа).

Если задать t, то, не входя в подробности полного расчета, мы увидим, что получить л:()<£ можно, только если ф находится внутри одной из окрестностей таких двух значений ср, находящихся между О и 27г, что

срдаАтг-)-- - mt.

По виду кривых можно заключить, что эти окрестности тем зже, чем больше t. и могут стать - сколь угодно малыми при условии, что t будет

Значит, если задано любое, сколь угодно малое е. то из соотношений (58> и (59) следует

limP{x(0 -Хо>е}=0,

а это определяет сходимость по вероятности. Сходимость в среднем квадратическом, так же как и сходимость по вероятности, не предполагает для-каждой реализации сходимости в том смысле, как ее понимают в анализе.

Можно пояснить этот пункт, заметив, что в примере, представленном на рис. 9.13, x{t) при t. стремящемся к бесконечности, сходится к 0 по вероятности и то же x{t) сходится к нулю в среднем квадратическом. Мы, однако, уже выяснили, что вероятность сходимости функции x(ty к нулю в том смысле, как. это понимается в анализе, равна нулю.

) Пусть X - случайная величина, а X - а - ее дисперсия. Покажем, что можно-легко найти величину, ограничивающую сверху вероятность того, что \ Х\> а, исход из з2. Действительно, обозначим через dF (х) вероятность того, что л: < < л: -- dx.. Тогда, если а - любая положительная постоянная, то

оо -гв -а -I-00

<j2= j xdF{x)= j xdF(x)+ j xdF{x)+ j xdF{x). -CO -a -CO +a

Bee интегралы положительны; кроме того, в двух последних х > а. Поэтому

0=* >

J dF{x)+ f dF{x)

-со 4-0

Отсюда получаем неравенство Бьенэмэ

==аР[\Х[>а}.

Р[\Х\>а} <~.

*) Неравенство (59) было впервые получено в 1846 г. известным русским мате-П. Л.

матиком

Чебышевым и известно в советской научной литературе, а также и

в ряде зарубежных стран как неравенство Чебышева (лемма- Чебышева).

достаточно велико. Иначе говоря, .

Ит Р{1л:(0<е}=0. - (57>

Итак, случайная величина x(t) сходится по вероятности при t-cx> к опредаденному числу 0. Рассмотренный пример представляет интерес, так как показывает, что этот род сходимости вовсе не требует, чтобы при каждом испытании имелась сходимость в том смысле, как это понимается в анализе. В частности, из рис. 9.13 видно, что при любом -s имеется бесконечное множество значений t, для которых х = \. Поэтому ни при каком испытании мы не имеем права сказать, что x{t) стремится к нулю в том смысле, как это понимается в анализе.

9.2.6. Сходимость в среднем квадратическом (сходимость с. к.). Говорят, что x{t) сходится к Xq в среднем квадратическом при t, стремящемся к о> если

lim [х(0 -ХоР = 0. . (58>

Сходимость в среднем квадратическом влечет за собой сходимость по вероятности. Это следует из неравенства Бьенэмэсогласно которому

xHt) < a2 + Л2 . P {IX (О I > a}.

Из этого неравенства следует, что x(t) стремится к нулю при t, стремящемся к бесконечности. Действительно, выберем сколь угодно малое положительное число е. Требуется доказать, что можно найти такое Т, что

при >Т будет x{t)B. Для этого возьмем а=-; теперь достаточно

лайти такое Т, чтобы при tT было

к()>/ Y

что возможно, так как из определения сходимости по вероятности имеем

Um P{\x{t)\>y]} = 0

t->co !

при любом наперед заданном tj.

Замечание. Доказательство существенно основано на том, что функция x{t) ограничена при любом t и при любом испытании. Если .это условие не выполнено, то может иметь место сходимость по вероятности без сходимости в среднем квадратическом. Подтвердим это примером. Будем -снова исходить из функции x{t), которую мы рассматривали ранее (рис. 9.13). Если t стремится к бесконечности, x(t) стремится к нулю по вероятности, т. е. равенство ИтЯ { х() > е} =0 справедливо для всех е. Совершенно очевидно, что достаточно соблюдения этого условия для малых значений е; тогда оно будет иметь место и для больших, так как если > е то

P{\x(0\>B2}<P\\x{t)\>e,].

Отсюда следует, что мы можем произвольно изменять x{t) всюду, где х больше некоторой величины tj и при этом ничего не изменится в сходимости х к нулю по вероятности. Возьмем, например, Tj=rO,l и заменим x{t) на функ-щию y(t), определенную следующим образом:

а) y{t) = x{t) при xitX-ri;

б) y(09(0x(,t) при X(t)>q.

Сходимость x{t) в среднем квадратическом следует из общего положения, согласно которому для случайной величины, модуль которой остается ограниченным, сходимость к нулю по вероятности влечет за собой сходимость к нулю в среднем квадратическом.

Действительно, предположим, что \x(t)\<A, где А - граница x(t), не зависящая от t. Вернемся теперь к соотношению, которое помогло нам установить неравенство Бьенэмэ (см. сноски на предыдущей странице). Если а - любая положительная постоянная, то можно написать

а -а со

\ j xHt)dF(x; t)-\- f xHt)dF{x; t)+- fx4t)dF{x; t).

-a -co a

Найдем для интегралов, стоящих в правой части, верхние границы:

j x{t)dF{x; /;)<й2,

-о со

J xHt)dF(x; t)-i- f x{t)dF{x; t)A Р{\х\> а}.

- со a

Отсюда