где rs{t) - определенная (не случайная) функция t. Очевидно, что если ср() достаточно быстро возрастает при возрастании t, то можно не допустить, чтобы момент второго порядка x{t) стремился к нулю, и даже заставить его неограниченно возрастать при больших значениях t. При этих условиях функция у() будет сходиться к нулю по вероятности, но не в среднем квадратическом.

Понятие сходимости в среднем квадратическом представляет интерес по двум существенным причинам:

1) в большинстве случаев момент второго порядка легко вычисляется;

2) в большем числе практических приложений момент второго порядка имеет простой физический смысл.

Уточним этот важный пункт.

Рассмотрим электрический ток флуктуации i(t), проходящий по катушке самоиндукции L. Положим, что этот ток связан с некоторым параметром, например с положением а указателя потенциометра. Сказать, что в определенный момент ti при а, стремящемся к д, этот ток флуктуации стремится к нулю в среднем квадратическом, значит сказать, что, взяв вначе-

ние а достаточно близким к ц, можно среднюю энергию 2 (О- накопленную в катушке самоиндукции в момент считать сколь угодно малой.

9.2.7. Почти достоверная сходимость. Те типы сходимости, о которых шла речь выше, могут иметь место и без наличия сходимости в том смысле, как она понимается в анализе. Попробуем, однако, стать на точку зрения физика, изучающего электрические флуктуации определённой цепи. Допустим, что он регистрирует некоторое напряжение флуктуации и наблюдает за ним достаточно долго. В конечном счете он получит единственную кривую, зарегистрированную прибором, за которым велось наблюдение. Эта кривая соответствует результату одного испытания. Сходимость, интересующая исследователя, будет, прежде всего, сходимостью в том смысле, как ее понимают в анализе, установленной по результатам этого испытания. Если потребуется произвести упрощение, заменив исследуемую величину ее пределом, то необходимо, чтобы этот предел имел определенный смысл для по-.лученной исследователем кривой, а не для совокупности возможных кривых, которых он никогда не видел. Это соображение и приводит к понятию почти достоверной сходимости.

Вернемся к случайной функции x(t) и случайной величине Xq, определенным по одной и той же категории испытаний. По результатам одного вполне определенного испытания может иметь или не иметь места сходимость x{t) к Xq в том смысле, как она понимается в анализе. Следовательно, такая сходимость - случайное событие, которое имеет или не имеет места для каждого испытания. Можно сказать, что существует некоторая вероятность такой сходимости.

Примем следующее определение: функция x{t) сходится почти достоверно к Xq при t, стремящемся к tQ, если вероятность сходимости x(t) к Xq равна единице. При этом условии, если пренебречь совокупностью реализаций, имеющих общую нулевую вероятность, можно считать, что при каждом испытании Xq является пределом x(t) в том смысле, как это понимается в анализе. Однако быстрота сходимости х (t) к Xq может зависеть от рассматриваемого испытания и, следовательно, сохраняет случайный характер. Кроме того, можно показать, что почти достоверная сходимость влечет за собой сходимость по вероятности.

После рассмотренных уточнений понятия сходимости можно обобщить понятия анализа, основанные на понятии предела, в частности понятия

производных и интегралов. Рассмотрим, например, производную. Мы не будем заниматься сходимостью в смысле Бернулли, о которой уже известно, что она очень неопределенна. С каждым из трех других видов сходимости связано соответствующее определение производной:

1. Производная по вероятности. Случайная функция х (t) имеет в качестве производной по вероятности в точке некоторую случайную вели-

X (to + Щ - Х {to)

чину у(о) ли случайная величина --- - сходится по вероятности к у(о) при t, стремящемся к t.

2. Производная в среднем квадратическом. Случайная функция x{t} имеет в качестве производной в среднем квадратическом в точке t случайную величину у(о)> ли

x{to + At)~x{to) At

= 0.

(60)

3. Почти достоверная производная. Случайная величина у(и) представляет собой почти достоверную производную случайной функции x{t} при t - iQ, если с вероятностью, равной единице, справедливо равенство

x{to + At)-x{to)

- У (Го)

(61)

причем предел здесь имеется в виду в том смысле, как это понимается в анализе.

Аналогично, рассмотрение сходимости x{tQ-\-b.t) к x{t при At~0 позволяет определить непрерывность по вероятности, непрерывность в среднем квадратическом и почти достоверную непрерывность в точке t = t.

В дальнейшем мы будем еще много раз возвращаться к понятию сходимости одной случайной величины к другой. В частности, мы будем иметь дело со случайной непрерывностью или со случайной производной. Однако во многих приложениях теории вероятностей часто имеют место одновременно все виды сходимости. Приводимые ниже теоремы относятся, строго говоря, только к сходимости в среднем квадратическом, однако при достаточно общих условиях, которые мы здесь не будем уточнять, но которые практически выполняются в большинстве приложений, они будут устанавлит вать и почти достоверную сходимость. Поэтому, когда речь пойдет, например, о производной случайной функции, это, строго говоря, будет означать производную в среднем квадратическом, но практически это можно понимать также как почти достоверную производную и, следовательно, производную случайной функции почти достоверно можно отождествить с производной, которую можно вычислить по результатам одного определенного испытания.

Стационарные случайные функции. Изучение постоянных режимов

9.2.8. Введение. Рассмотрим особый класс случайных функций - стационарные случайные функции. Случайная функция x(t) называется стационарной, если все ее статистические свойства не изменяются при любом выборе начала отсчета времени. Точнее, будем называть в этом случае x{t) стационарной случайной функцией в строгом смысле, в отличие от более широкого определения характера стационарности, которое будет дано ниже. Стационарные случайные функции нужны для изучения флуктуации при по-

р(т)=х()х( -т). (63)

По поводу определения понятия математического ожидания следует для случая стационарных случайных функций сделать одно существенное замечание. Для этой цели рассмотрим математическое ожидание x{t). Будем считать для простоты, что оно тождественно равно нулю. Предположим, что x{t) представляет собой флуктуирующее электрическое напряжение, и поставим вопрос, каким образом экспериментатор может определить его математическое ожидание. По определению, x{t{) есть математическое ожидание случайной величины x{t. Его экспериментальное определение сводится к наблюдению в момент большого числа макроскопически тождественных приборов, которые дадут показания Xj (,), (1), ..., и к нахождению среднего значения этих показаний. На практике такой способ очень сложен и неудобен, так как он требует одновременно большого числа приборов.

Если заменить такое одновременное наблюдение большого числа приборов наблюдением в течение длительного времени напряжения x{t), записанного одним прибором, то это приведет к замене определения математического ожидания х(,) в момент средним значением по времени, взятым за большой промежуток времени Т для одного определенного испытания. Это временное среднее значение назовем ]{Т):

При довольно общих условиях, которые сводятся к требованию, чтобы корреляционная функция p(t) достаточно быстро стремилась к нулю при т->сю,

и которые, в частности, выполняются, если существует интеграл j \p(t)\di:,

- со

что имеет место в большинстве приложений, можно показать, что случайная величина [л.(7) сходится в среднем квадратическом и почти достоверно к x{t), если Г->оо.

Аналогичные результаты можно получить и для других моментов, например для X (t) x{f - t). Поэтому в дальнейшем мы не будем проводить различия между математическим -ожиданием и пределом временного среднего

стоянных режимах. С точки зрения математики, стационарный характер функции влечет за собой следующие ее особенности.

1, Функция распределения F{x\ t) не зависит от t; функция распределения F(Xj, Х2, ty, зависит только от разности - t- В общем случае по отнощению ко всем переменным имеет место тождественное равенство:

F{Xi, ЛГо, х \ 21, 2.....tk)

= F{xi, Х2, Xk, ti + h. t + h, t + hy (62)

2. Такие же особенности встречаются при изучении моментов. Момент первого порядка x{t), т. е. математическое ожидание функции, представляет собой постоянную т, не зависящую от t. В дальнейщем будем предполагать, что т = 0; очевидно, что это предположение не нарушает общности. Момент второго порядка л:(,)л:(2) - математическое ожидание произведения X (i) X (2) - scTb функция только от разности - 2 = Эта функция будет играть важную роль, в дальнейшем. Мы назовем ее корреляционной функцией p(t) стационарной случайной функции x{ty.