Главная >  Дифференцирование и интегрирование по аргументу 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 [ 207 ] 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251

значения при Т~со. В частности, моменты первого и второго порядков можно будет определять с помощью соотношений

т:=х= lim ~ I x(t)dt = 0 (64)

и . . .

{z) = x{t)x{t - t)= lim 4г f x{t)x(t - t)dt.

9.2.9. Изучение моментов второго порядка. Определение. Флуктуации представляют собой весьма сложное явление, даже в какой-то мере неуловимое, поскольку оно все время изменяется непредвиденным образом. Поэтому экспериментатор должен ограничиться несколькими характерными величинами, которые могут дать качественное представление об изучаемом явлении. В случае стационарных явлений часто довольствуются моментами первого и второго порядков, т. е. математическим ожиданием x{t)~m (предполагается, что оно равно нулю) и корреляционной функцией p(t) = = x{t)x(J: - t), физический смысл которой мы вскоре выясним. Это, очевидно, наиболее простые статистические характеристики. Кроме того, корреляционные функции удобны по следующей причине. Очень часто флуктуирующая величина X {t) бывает суммой или наложением флуктуирующих величин x-i{t), Xzit), xt), независимых друг от друга; так, например, флуктуирующее напряжение v{t) между двумя точками А а В электрической схемы часто оказывается просто наложением флуктуирующих напряжений vj {t), V2(), создаваемых различными сопротивлениями R, R2, ... Понятно,

что эти напряжения не зависят друг от друга. Корреляционную функцию X(t)X{t - t) от суммы X=Xi можно получить простым суммированием

корреляционных функций, относящихся к каждой составляющей. Это видно из следующего преобразования:

X{t)X(t-z) = xi(t)Xj(t-х)=Ъ xiit) Xj( -) + 2 x.,(r)Xj(t - -i).

(65)

Вследствие независимости функций Xi имеем 2 x(t)xj(t -1) = 0 (пред-

полагается, что Xi = Xj = 0), откуда получаем требуемое соотношение

(О ( - т) = 2 Xi it) X, (t - z). (66)

Легко заметить, что это свойство не распространяется на средние значения типа .

ф (т, т, t ) == X (t) xit - i)x{t - 1) x(t - тО- (67)

Мы привели сейчас доводы в пользу применения моментов второго порядка по соображениям простоты, однако имеются и гораздо более глубокие соображения. Моменты второго порядка всегда имеют физический смысл. Это становится очевидным, если учесть, например, что средняя мгновенная мощность, рассеянная флуктуирующим током i{t) на сопротивлении R, равна Ri{t), что средняя энергия, накопленная в момент t в катушке с индуктивностью L, по которой течет ток i(t), равна -/-i, что средняя мощность, переносимая в пустоте плоской электромагнитной волной через



2 х2 (О + х2 - т) + 2 л: (О х - т),

Z2=2[p(0)4-pW]. (68)

Мы видим, что средняя энергия представляет собой сумму двух членов. Первый из них 2р(0) = 2х2 - это сумма собственных энергий, вызванных каждым из излучений x{i) и x{t - т). Второй член 2p(t) -это член, характеризующий взаимодействие двух световых излучений. Этот переменный член 2 р (-с) регулирует изменение средней энергии Х в зависимости от оптического запаздывания. Следовательно, корреляционная функция дает непосредственно форму интерференционных полос.

Имеется еще одно замечание по поводу изучения моментов второго порядка. Рассмотрим пример из электротехники. Предположим, что ко входу линейного усилителя приложено случайное напряжение x{t). Вследствие этого в различных каскадах усилителя возникнут случайные напряжения yi(,t),

2(0.....

Мы покажем, что моменты первого и второго порядков функций у, (t), У2 (t), . .. можно вывести из соответствующих моментов функции х {t). Следовательно, можно рассмотреть моменты первых двух порядков в любой линейной цепи приборов, переходя от одного к другому. При таком рассмотрении никогда не придется вводить моменты порядка выше второго. Получается, таким образом, особое исследование, и можно сказать, что изучение моментов второго порядка является в значительной мере изучением передачи энергии в линейных системах.

Учитывая описанный выше характер свойств, связанных с моментами второго порядка, видим, что целесообразно рассматривать случайные функции, у которых стационарность относится только к моментам первого и второго порядков. Они называются стационарными случайными функциями второго порядка.

Случайная функция является стационарной случайной функцией второго порядка, если она обладает следующими свойствами.

1. Математическое ожидание x(t) не зависит от t (всегда можно предположить, что x(t) - 0).

2. Математическое ожидание произведения x(i)a:(2) зависит только от разности ti - tz - - Это предположение обеспечивает существование корреляционной функции, определяемой равенством

p(z)=x(t)x{t - t).

Стационарность второго порядка отличается от стационарности в строгом смысле слова. Действительно, можно привести примеры случайной

поверхность, перпендикулярную к направлению распространения, пропорциональна моменту 2-го порядка напряжения электрического поля.

Выясним теперь, с учетом сказанного, физический смысл корреляционной функции. Рассмотрим световое излучение при постоянном режиме. Мы представим его с помощью некоторой стационарной случайной функции x{t). Рассмотрим интерференцию двух световых излучений. Это означает, что мы каким-то способом получим сумму

X(t) = x{t)+-x{t - t).

где 1 - оптическое запаздывание, и изучим ее при различных значениях т. Вычислим среднюю энергию в точке, где оптическое запаздывание имеет значение t. В этой точке имеем



функции второго порядка, у которой моменты высших порядков не остаются неизменными при изменении начала отсчета времени. Следовательно, такие функции не стационарны в строгом смысле слова.

Можно легко убедиться, что так же обстоит дело и с функцией

x(0 = cosco--Fsinto,

где ш - определенная постоянная, а X и V две независимые случайные величины с одинаковым законом распределения и удовлетворяющие условию: X ==Y = 0. Сразу же можем написать

X (tiYx (t) = Х cos ш - t) = Х cos wz.

В то же время легко заметить, что Xt) существенно зависит от t.

Общие свойства стационарных случайных функций второго порядка

9.2.10. Корреляционные функции. Рассмотрим сначала несколько простейших свойств корреляционных функций.

1. При z - O корреляционная функция равна дисперсии:


р(0) = х2.

(69)

pfz)

2. Корреляционная функция представляет собой четную функцию от z. Действительно,

{z) = x{t)x(t--z)=xit - z)xit).

Вследствие стационарности можно заменить t на t+-z. Тогда имеем


Рис. 9.14.

р(т)=х(Ох( + т) = р(-т:). (70)

Если корреляционная функция дифференцируема, то ее нечетные производные представляют собой нечетные функции, например, p(t)c=r-р(-z), а четные производные представляют собой четные функции. Характер соответствующих кривых представлен для частного случая на рис. 9.14. Эти кривые соответствуют функции р(с) = е~11. Мы увидим в дальнейшем, что это действительно корреляционная функция. Если нечетные производные су-шествуют при т = О, иными словами, если имеются производная справа и производная слева, равные между собой, то их значение может быть равным только нулю. В нашем примере р(0) не существует. Но если бы функция {z) не имела в начале координат угловой точки, а шла бы так, как это изображено пунктиром, то производная при 1 = 0, т. е. р(0), существовала бы. iio была бы обязательно равна нулю.

3. Корреляционная функция удовлетворяет важному соотношению

!р()<р(0)=:. (71)

Это соотношение вытекает из классического неравенства, называемого



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 [ 207 ] 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251